Линейные и квадратичные функции

Линейная функция . Функция определена на всей числовой прямой, . Множество ее изменения – также множество всех действительных чисел, . Функция не ограничена. Она не имеет точек экстремума. При функция является возрастающей, при – убывающей. При функция является постоянной. Графиком линейной функции является прямая. Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс, (рис. 31). Из аксиом геометрии известно, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. Поэтому для построения графика линейной функции достаточно задать две точки.

Квадратичная функция (). Функция определена на всей числовой прямой. Графиком квадратичной функции является парабола.

Для построения графика квадратичной функции целесообразно преобразовать формулу, выделив полный квадрат: , где . Таким образом, получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами . График квадратичной функции симметричен относительно прямой .

При ветви параболы направлены вверх. В точке функция имеет минимум и принимает в этой точке наименьшее значение. При функция возрастает, при функция убывает. В этом случае квадратичная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

При ветви параболы направлены вниз. В точке функция имеет максимум и принимает в этой точке наибольшее значение. При функция убывает, при функция возрастает. В этом случае квадратичная функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс. Если дискриминант отрицателен, то парабола расположена выше оси абсцисс, если , и ниже оси абсцисс, если .

Пример 10. Постройте графики функций и .

Решение. Вершина параболы имеет координаты и . Так как старший коэффициент положителен, то ветви параболы направлены вверх. Также, решив уравнение , можно найти точки пересечения с осью абсцисс: и (рис. 32).

Для параболы аналогично получаем, что и , и ветви ее направлены вниз. Данная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен (рис. 33).

Построение графиков