Общая схема анализа и построения графика функции

1) Область определения функции; область значений функции (если это возможно).

2) Промежутки положительных и отрицательных значений функции. Координаты точек пересечения с осями Ох и Оу.

3) Исследование функции на четность, нечетность.

4) Исследование функции на периодичность.

5) Исследование функции по первой производной:

- промежутки монотонности;

- точки экстремумов; экстремумы функции.

6) Исследование функции по второй производной:

- промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз;

- точки перегиба.

7) Анализ области непрерывности. Анализ точек разрыва. Асимптоты графика функции.

8) Расчет координат дополнительных точек (если это необходимо).

9) Построение графика функции.

Промежутки монотонности

Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если она определена во всех точках промежутка, и для любых двух точек х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку, таких что х₁ < x₂, выполняется условие f(x₁) < f(x₂) (f(x₁)) > f(x₂)).
Теорема (достаточное условие монотонности). Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема во всех точках интервала (а; b). Если при этом f (x) > 0, то функция возрастает на отрезке [а; b]; если f′(x) < 0, то функция убывает на отрезке [а; b].
Строго говоря, утверждение теоремы сохраняется, если производная обращается в ноль или не существует в конечном числе точек, в которых, однако, сама функция определена.
Точка х = х₀, называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует двусторонняя окрестность этой точки, в которой функция определена и при этом f(x) < f(x₀), (f(x) > f(x₀)), x≠ х₀.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если х₀ - точка экстремума функции, то либо производная в этой точке не существует, либо f′(x₀) = 0. Обратное утверждение неверно.
Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими.
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(x) непрерывна в некоторой двусторонней окрестности точки х₀, включая и саму эту точку, и дифференцируема во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки х₀. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ - точка максимума. Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

ПРИМЕР 1. Найти промежутки монотонности следующих функций и экстремумы:

а) ; б)

Решение: а) область определения данной функции является вся числовая ось:

Расчет промежутков монотонности функции сводится к анализу знаков ее производной, который проводится методом интервалов.

y - + y 1,5 x

Находим критические точки: , точек в которых производная не существует, нет.

Получаем картину знаков производной:

Следовательно, функция убывает на промежутке (-∞;1,5], возрастает на промежутке [1,5; +∞).

Экстремум функции в точке точка минимума,

у_min=y(1,5)=2,25 - 4,5+2=-0,25.

б) область определения данной функции является вся числовая ось:

.

Критические точки , , точек в которых производная не существует, нет.

y - + -   y -1 1 х

Получаем картину знаков производной:

 

Функция убывает на промежутке (-∞;-1] и [1; +∞), возрастает на промежутке [-1; 1].

Экстремум функции в точке точка минимума, точка максимума,

у_min=y(-1)= -1,5 и у_max=y(1)= 1,5.