Определитель матрицы и его свойства

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Определитель квадратной матрицы порядка полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a_1j.

Формула = +…

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.

Пусть M_i ^<j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной

матрицы A вычеркиванием i -й строки и j -го столбца (минор элемента a_ij).
Число (-1) ^j+i M_i ^<j> называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A.
Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу – формула (*).

Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается:

поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1-ой строке
M₁ ^{< 1>} =a₂₂, M₁ ^{< 2>} =a₂₁.

Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид:

.

ПРИМЕР 5. Вычисление определителя разложением по 1-ой строке .