Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x₁, x₂,..., x_n:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой: x=A ^-1 b.

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁, x₂,..., x_n, определяемое формулами Крамера

x_i =D_i / D, i=1,2,..., n,

где D _i - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

ПРИМЕР 2. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Ответ: ()

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n, x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k, i=n-1, n-2,...,1.

ПРИМЕР 3. Вычисление решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Ответ: ().