Импульс тела. Закон сохранения. Реактивное движение

Используя законы Ньютона можно решить любые механические задачи. Однако применить эти законы бывает гораздо легче, если ввести понятие импульса тела, которым называют произведение массы тела на его скорость.

Пусть сила F начинает действовать на тело m, движущееся со скоростью v ₁. По второму закону Ньютона тело сразу начнёт двигаться с ускорением a = F /m, и через промежуток времени  t его скорость станет равной v ₂= v ₁+ a ^. t. При этом будет справедливо следующее равенство:

откуда следует, что

(17)

До сих пор мы рассматривали движение какого-нибудь одного тела и действие сил на это тело. Часто, однако, приходится рассматривать движение сразу нескольких взаимодействующих тел, например, соударение бильярдных шаров, движение планет солнечной системы или стыковка двух космических аппаратов. В каждом из этих случаев мы изучаем не одно тело, а систему, состоящую из нескольких взаимодействующих между собой тел. При этом существуют такие системы, тела в которых взаимодействуют только между собой, и можно считать, что никакие внешние силы на такие системы не действуют. Такие системы тел называют замкнутыми или изолированными. Солнечную систему можно считать замкнутой системой тел, так как она очень удалена от других космических тел нашей Галактики.

Рассмотрим, как меняется импульс замкнутой системы, состоящей из двух тел – А и Б, при их столкновении. Согласно третьему закону Ньютона, сила F, с которой тело А действует на тело Б, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело Б действует на тело А. Поэтому для каждого из тел можно записать уравнение, аналогичное (17), где индексы А и Б указывают на то, что оно написано для тел А и Б, соответственно:

(18)

Складывая уравнения в (18), получаем:

(19)

В правой части уравнения (19) стоит суммарный импульс системы до столкновения, а в левой – он же, но после. Таким образом, суммарный импульс тел замкнутой системы не изменяется в результате взаимодействия тел этой системы. Этот вывод, справедливый для любых замкнутых систем, называют законом сохранения импульса.

Применим закон сохранения импульса к решению задачи о неупругом столкновении двух шаров, сделанных, например, из пластилина, при условии, что после столкновения они движутся, как единое целое. Считая систему из двух шаров замкнутой, приравниваем значения суммарных импульсов системы до и после столкновения (см. 19):

откуда можно легко найти скорость движения v слипшихся шаров после их неупругого столкновения.

Закон сохранения импульса можно использовать для вычисления скорости v ₁ отдачи пушки массой m ₁ после выстрела снарядом массы m ₂ со скоростью v ₂. Система, состоящая из пушки и снаряда, не является замкнутой, т.к. на неё действует сила притяжения Земли. Однако в горизонтальном направлении на эту систему не действуют внешние силы, если пренебречь силами трения. Поэтому, применяя закон сохранения горизонтальной составляющей импульса системы и считая, что импульс системы до выстрела был равен нулю, имеем: m ₁ v _1x + m ₂ v _2x = 0,

откуда можно вычислить скорость v _1x отдачи пушки после выстрела.

Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении какой-либо его части.

Силу, действующую на тело при реактивном движении, называют реактивной силой. Рассмотрим, от чего зависит её величина для ракеты, движущейся в космическом пространстве вдалеке от других тел. В таких условиях систему «ракета с истекающими из неё газами» можно считать замкнутой и для определения реактивной силы воспользоваться законом сохранения импульса.

Пусть в момент времени t ракета имеет массу m и движется со скоростью v относительно выбранной нами инерциальной системы. Значит, импульс системы в момент t равен m v. Из сопла ракеты истекают продукты горения, и её масса уменьшается на m кг в единицу времени, поэтому в момент времени t -D t она будет равна m -m^.D t, а импульс ракеты станет равным (m -m^.D t)(v +D v). Если считать, что скорость истечения газов из ракеты относительно его сопла равна u, то импульс выброшенных из ракеты газов за промежуток времени D t составит m^.Dt(u + v). Приравнивая импульс системы в моменты t и t +D t, получаем:

(20)

Раскрывая скобки в (20), приводя подобные члены и пренебрегая m^.D t ^.D v, по сравнению с остальными членами, получим следующее уравнение:

(21)

Если разделить обе части уравнения (21) на D t, то оно преобразуется в уравнение Мещерского:

(22)

Левая часть уравнения Мещерского представляет собой произведение массы ракеты на её ускорение, что, согласно второму закону Ньютона, равняется силе, действующей на ракету. Таким образом, из (22) следует, что реактивная сила равна произведению расхода топлива в единицу времени на скорость истечения газов и направлена в сторону противоположную вектору этой скорости.

1.3.2 Работа и мощность. Механическая энергия и её виды

Работой силы, действующей на тело, называют произведение проекции силы в направлении перемещения тела на величину этого перемещения.

Согласно второму закону Ньютона тело приобретает ускорение в направлении действия силы, и чем дольше будет действовать сила, тем большее перемещение совершит тело в данном направлении. Вклад силы в перемещение s тела (см. рис. 5 а) можно оценить, вычисляя величину работы A силы F по данной формуле:

A = F ^. s ^. cos (a), (23)

где a - угол между векторами F и s. В системе единиц СИ работа измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 1 Н^.м. Из (23) следует, что при p/2<a<3p/2 работа силы отрицательна. При таких значениях a тело движется в одну сторону, а сила действует в другую, тормозя движение тела (рис. 5. б). Сила, действуя на тело, может вообще не совершать работу, если она направлена перпендикулярно его вектору перемещения (рис. 5 в). Если проекция силы в направлении перемещения, F _S изменяется, то величину работы можно вычислять, измеряя площадь под кривой зависимости F _S от s.

Энергией называют способность тела или системы тел совершить работу. Ветер, надувая парус, движет лодку вперёд и совершает работу, а значит, движущийся воздух обладает энергией. Сжатая пружина имеет энергию, т.к. распрямляясь, совершает работу, приводя в движение механизм часов. Движущийся бильярдный шар тоже обладает энергией, т.к. при столкновении с неподвижным, действует на него с силой, совершая работу. Во всех этих случаях состояние тел, обладающих энергией, после того, как они совершили работу над другими телами, менялось: воздух рядом с парусом замедлялся, пружина часов распрямлялась, а движущийся бильярдный шар терял скорость после столкновения с неподвижным.

Механической энергией тел называют энергию, связанную с их скоростями и относительным положением. Чем больше скорость тела, тем большей энергией оно обладает. Энергию, связанную со скоростью тела, называют его кинетической энергией, E _К. Сжатая пружина, хоть и неподвижна, но обладает энергией, т.к., распрямившись, может совершить работу. То же можно сказать и о приподнятом над землёй мяче, т.к., если его отпустить, то он, разогнавшись и ударившись обо что-нибудь, совершит работу, а значит даже сначала, когда он ещё не двигался, он уже обладал энергией. Такую энергию, связанную только с относительным расположением тел или их частей (деформацией), называют потенциальной энергией, E _П. Таким образом, механическая энергия тела или системы тел равна сумме их потенциальных и кинетических энергий.

Вычислим работу, которую совершает сила F, разгоняя неподвижное тело массы m до скорости v. Действие силы приведёт к тому, что тело будет двигаться с ускорением a=F/m. Тело достигнет скорости v через промежуток времени t=v/a, пройдя при этом путь s=at ²/2. Поэтому работа A, совершённая силой F, составит:

Аналогично, если на тело, движущееся со скоростью v, начинает действовать сила, тормозящая его, то это тело успеет до полной остановки совершить работу, равную mv ²/2. Таким образом, кинетическая энергия тела, E _К равна:

E _К = mv ²/2. (24)

Найдём потенциальную энергию тела массы m, приподнятого на высоту h над поверхностью земли. Если дать этому телу свободно падать, то оно начнёт двигаться с ускорением свободного падения g и, как легко показать, у поверхности земли будет иметь скорость v =(2 gh)^1/2. Поэтому у поверхности земли тело будет обладать кинетической энергией, равной mv ²/2, и остановившись, сможет совершить такую же по величине работу. Значит, находившись на высоте h над землёй, тело обладало потенциальной энергией, E _П, равной:

(25)

Рисунок 5 (а), (б) и (в) – К вычислению работы силы для разных углов a; (г) и (д) – К вычислению кинетической и потенциальной энергии, соответственно