Практических задач и упражнений для

Самостоятельной работы студентов

Подготовил преподаватель:

Некрасова И.Н.

г. Балашов

2015 г.

Семестр

1. Тема 1.1.3 « Погрешности приближений и вычислений, вычисления с приближенными данными»

Форма предоставления изученного материала (по программе самостоятельного изучения с указанием уровней сложности):

1. Решение 2-3 задач.

2. Решение 4-5 задач. Ответы на контрольные вопросы.

3. Решение 6-8 задач. Проверка правильности решения. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

1. Какое число называется приближенным?

2. Что называют абсолютной погрешностью приближения? В каких единицах измеряется абсолютная погрешность?

3. Что называют относительной погрешностью приближения? В каких единицах измеряется относительная погрешность?

4. Что называют границей относительной погрешности? Каково практическое приложение границы относительной погрешности?

5. Какие цифры приближенного числа называются верными? Сомнительными?

6. Перечислите правила действия с приближенными числами.

Упражнения:

1. Измерение электрического напряжения на солнечной батарее проводят с использованием аналого-цифрового преобразователя (АЦП) с относительной погрешностью преобразования 0,25 %. Результат измерения равен 1,25 В. Напряжение на ее выводах должно превышать 1,20 В. Можно ли обосновано утверждать, что солнечная батарея годна к эксплуатации? Ответ подтвердите математическим неравенством.

2. При испытательном нагружении резервуара допустимо отклонение от номинального давления 300 МПа не более 5 %. С какой абсолютной максимально допустимой погрешностью необходимо измерять давление при испытаниях?

3. Число 14,75 найдено с относительной погрешностью 0,5%. Найти абсолютную погрешность округления.

4. Найти абсолютные и относительные погрешности числа e=2 71828182,..., заданного двумя и тремя цифрами после запятой (без округления!)

5. Округлить число x=4,45575650 до шести, пяти и т.д. десятичных знаков и до целого числа.

6. Вычислить верные значащие цифры чисел:

а) x = 0,004507; D =0 00006;

б) x = 12,396; D =0,03;

в) x = 0,037862; D = 0,00712,396.

7. Рёбра прямоугольного параллелепипеда a=4,3см, b=1,6см; c=2,8см измерены с абсолютной погрешностью D=0,1 см. Определить абсолютную и относительную погрешность вычисления его объёма V.

8. При измерении мирового рекорда на дистанции 800 м среди женщин использовался электронный секундомер с относительной инструментальной погрешностью 0,3 %. Время действующего мирового рекорда равно (230,07 ± 0,001) с. Можно ли уверенно утверждать, что время 229,70 с является новым мировым рекордом? Ответ обоснуйте математическим неравенством.

Методические указания:

Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины.

Абсолютная погрешность вычисляется по следующей формуле:

ΔQ_n =Q_n −Q₀,

где AQ_n – абсолютная погрешность;

Q_n – значение некой величины, полученное в процессе измерения;

Q₀ – значение той же самой величины, принятое за базу сравнения (настоящее значение).

Абсолютная погрешность меры – это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения.

Относительная погрешность вычисляется по следующей формуле:

где ΔQ – абсолютная погрешность;

Q₀ – настоящее (действительное) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в процентах.

Приведенная погрешность – это значение, вычисляемое как отношение значения абсолютной погрешности к нормирующему значению.

Примеры выполнения упражнений:

Пример 1.

При измерении мирового рекорда на спринтерской дистанции 100 м использовался электронный секундомер с относительной инструментальной погрешностью 0,2 %. Время действующего мирового рекорда равно (8,745 ± 0,001) с. Можно ли уверенно утверждать, что время 8,70 с является новым мировым рекордом? Ответ обоснуйте математическим неравенством.

Решение:

1) Найдем абсолютную погрешность измерения времени нового рекорда на дистанции 100 м:

где δ_t – относительная погрешность, 0.2 %;

t – значение физической величины, 8.70 с;

∆t – абсолютная погрешность, с.

2) Результат измерения представим в виде интервала: (8.70 ± 0.02) с

3) Сравним результат с действующим рекордом: (8.745 ± 0.001) с

4) Время 8.70 с является новым мировым рекордом, так как выполняется неравенство:

(8.745 – 0.001) c > (8.70 + 0.02) c

8.744 c > 8.72 c

Пример 2.

Стороны прямоугольника a=3,3см; b=5,2см измерены с абсолютной погрешностью D=0,1см. Найти:

а) абсолютную погрешность периметра и площади прямоугольника;

б) относительную погрешность периметра.

Решение:

Периметр прямоугольника и его площадь вычисляются приближённо, т.к. его стороны измерены с некоторой погрешностью:

P= 2(a+b)= 2*(3,3+5,2)=17,0 см×

S= ab=3,3*5,2=17,16 cм²

Абсолютная погрешность вычисления периметра равна:

Теперь вычислим относительные погрешности сторон:

Пределы изменения относительной погрешности периметра:

(в долях) или (%)

Относительная погрешность вычисления площади прямоугольника:

Тогда абсолютная погрешность равна:

cм²

Рекомендуемая литература.

1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 клас-

сы. — М.: Просвещение, 2015. (Гриф Минобразования и науки РФ).

2. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие

для студ. учреждений сред. проф. образования. — М.: Академия, 2014. (Гриф Минобразования и науки РФ).

3. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учеб.пособие для ссузов / М.: Дрофа, 2012. (Гриф Минобразования и науки РФ).

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для СПО. – М.: Юрайт, 2015.

5. ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию

http://www.uztest.ru

6. Информационные, тренировочные и контрольные материалы

www. fcior.edu. ru

Критерии оценки:

• ознакомление с условием задачи (анализ условия задачи и его наглядная интерпретация схемой или чертежом), 0,5 балла;

• составление плана решения задачи (составление уравнений, связывающих величины, которые характеризуют рассматриваемое явление с количественной стороны), 1 балл;

• подробное решение, 2 балла;

• проверка правильности решения (анализ полученного результата или числовой расчет), ответы на контрольные вопросы 1 балл;

• задача представлена на контроль в срок, 0,5 балла.

Максимальное количество баллов: 5

Оценка выставляется по количеству набранных баллов.

2. Тема 2.1.3 «Степень с действительным показателем»

Форма предоставления изученного материала (по программе самостоятельного изучения с указанием уровней сложности):

1. Решение 3-4 задач.

2. Решение 5-6 задач. Ответы на контрольные вопросы.

3. Решение 7-8 задач. Проверка правильности решения. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

1. Дать определение арифметического корня.

2. Перечислить основные свойства арифметического корня.

3. Дать определение степени с рациональным и действительным показателями, перечислить их свойства.

Упражнения:

Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Сделать указанную подстановку и результат упростить:

8. .

9. .

Методические указания:

Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений.

Первый тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.

Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат.

Третий тип упражнений на тождественные преобразования – это упражнения, в которых требуется доказать справедливость данного равенства. При выполнении таких заданий можно либо левую часть преобразовывать к правой, либо правую к левой, либо одновременно преобразовывать левую и правую части, либо с помощью преобразований установить, что разность левой и правой частей равна нулю. При этом упражнения третьего типа могут быть двух видов: условные тождества (заданы условия, которым должны удовлетворять переменные в выражении) и безусловные (обычные).

Перечислим минимум формул, необходимых для преобразований:

Формулы сокращенного умножения:

; ;

; ;

где а, b, с – любые действительные числа;

, где а¹0, х₁ и х₂ – корни уравнения .

Основное свойство дроби и действия над дробями:

, где b¹0, с¹0;

; ;

; .

Определение арифметического корня и его свойства:

; , b¹0; ;

; ; ,

где а, b – неотрицательные числа, nÎN, n³2, mÎN, m³2

Свойства степеней:

, nÎN, а¹0; а⁰=1, а¹0;

, а¹0;

, а¹0;

, а¹0;

, а¹0, b¹0;

, а¹0, b¹0.

Примеры выполнения упражнений:

Пример 1.

Упростите выражение:

.

Решение:

.