Ряд учащихся вместо неравенства решали уравнение. Соответствующий пример ниже

Пример 6.

Рис. 12.6.

Комментарии: Учащийся решал задачу, отличную от сформулированной в КИМ. Согласно критериям, 0 баллов.

Как уже отмечалось выше, учащиеся, приступившие к решению задачи №17 и получившие ненулевой балл за эту задачу, применяли в основном метод интервалов, предварительно введя вспомогательную переменную.

С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд достаточно распространённых ошибок. Отдельные из них, согласно критериям, могут расцениваться как вычислительные (ошибка при определении знаков на промежутках, неверное расположение чисел на числовой прямой), другие – принципиальные, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением, не могут быть оценены ненулевым баллом. Приведём примеры.

Пример 7.

Рис.12.7.

Комментарии: Ошибка в определении знака на одном из интервалов вполне может быть признана вычислительной. Учащийся довёл решение до конца, продемонстрировав в целом владение методом замены переменных и методом интервалов. Согласно критериям, 1 балл.

Пример 8.

Рис. 12.8.

Комментарии: Не сделана обратная замена – необходимый шаг алгоритма. На числовой прямой отмечены значения исходной и введённой переменной. Согласно критериям, 0 баллов.

Отдельные учащиеся применили так называемый логический способ решения, осуществив на определённом этапе равносильный переход к совокупности двух систем. Пример правильного решения этим способом представлен на рисунке 12.2. С этим способом решения неравенства связаны следующие ошибки. Это рассмотрение только одного случая положительности (отрицательности) дроби, неверное использование логической символики. Приведём примеры.

Пример 9.

Рис. 12.9.

Комментарии: В решении рассмотрен только один случай неотрицательности дроби. При решении неравенства (2) автор решения делает ещё одну ошибку логического характера, рассматривает только один случай неотрицательности произведения. Согласно критериям, 0 баллов.

Пример 10.

Рис. 12.10.

Комментарии: в представленном выше решении автор многократно неверно использует логическую символику. В явном виде логические операции «конъюнкция» и «дизъюнкция» в школьном курсе математики не изучаются, не изучаются также законы формальной логики. В связи с этим, а также в связи с тем, что имеется верная последовательность всех шагов решения, работа оценена ненулевым баллом, однако, этот балл не максимальный.

Необходимым условием решения неравенств повышенной трудности является устойчивые умения тождественных преобразований выражений, в данном случае дробно-рациональных, показательных и логарифмических. Ошибки этого типа, к сожалению, являются распространенными.

Приведём пример работы с одной из очень распространённых ошибок такого типа.

Пример 11.

Рис. 12.11.

Комментарии: автор решения дважды ошибся при выполнении умножения числа на степень. Согласно критериям, 0 баллов.

Задача 18

В профильном ЕГЭ 2015 года модель задачи 18 (ранее – задача С4) не претерпела никаких изменений по сравнению с прошлым годом. Это планиметрическая задача, состоящая из двух пунктов: пункт на доказательство геометрического факта и пункт на нахождение одного из компонентов рассматриваемой конфигурации.

Задача №18 предполагала:

· владение понятиями вписанного многоугольника (треугольника. четырёхугольника), вписанного и центрального углов, подобия треугольников;

· знание геометрических фактов, в частности, таких как признаки подобия треугольников; расположение центра окружности, описанной около треугольника; условие вписанного в окружность четырёхугольника; теорема Пифагора и др.;

· умение проводить доказательство геометрических утверждений.

Приведём пример задачи № 18 и пример одного из возможных решений, предложенного участником ЕГЭ 2015 года:

«Диагонали и четырёхугольника , вписанного в окружность, пересекаются в точке , причём .

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника , где - центр окружности, вписанной в треугольник , если дополнительно известно, что ».

Пример 1.

Рис. 13.1.