Типичные ошибки в решениях задачи 17

1. Самые распространённые ошибки, сделанных учащимися, приступившими к решению задачи №17 в 2015 году, связаны с формальным перенесением методов и приёмов решения уравнений на неравенства того же типа. Это в частности проявилось в умножение неравенства на выражение с переменной без учёта знака этого выражения и в применении к неравенству свойства пропорции. Следующие примеры иллюстрируют указанные ошибки.

Пример 3.

Рис. 12.3

Комментарии: Автором этого решения, представленного на рис. 12.3 применено неравносильное преобразование, а именно: умножение неравенства на выражение с переменной, знак которого зависит от значения этой переменной. Согласно критериям, оценка – 0 баллов. Заметим также, что в последнем переходе, видимо, ученик допустил описку, вместо записав . Учитывая эту погрешность, можно констатировать, что автор этого решения не знает также, что неравенство верно при всех значениях переменной. Заметим, что последнее замечание, к сожалению, не редко встречалось и в других работах.

Пример 4.

Рис. 12.4

Комментарии: Автор этого решения неправомерно применил для неравенства свойство пропорции («крест-накрест»), что проиллюстрировал соответствующим знаком. Имеется также ошибка вычислительного характера в последнем переходе решения. Оценка, согласно критериям, 0 баллов.

2. Также очень распространённой ошибкой надо считать переход от дробно-рационального неравенства к неравенству, связывающему числители («отбрасывание» знаменателя). В следующем примере представлена именно такая ошибка.

Рис. 12.5.

Комментарии: нарушена равносильность в определённый момент решения. Можно предположить, что ученик использовал в общем случае неверное утверждение о том, что «дробь неотрицательна при неотрицательном числителе». Согласно критериям, 0 баллов.

Заметим также, что в этой работе наблюдается ещё одна достаточно распространённая ошибка: аналитическое и графическое представления ответа не соответствуют друг другу, описывая различные числовые множества. Если бы эта ошибка была единственной, то, согласно критериям, решение могло претендовать на 1 балл.