Нарушение логики умозаключений, отсутствие логических связок, рассмотрение одного частного случая верного равенства вместо решения задачи

Типичные ошибки в решениях задачи 15

1. Одной из самых распространенных ошибок при решении задачи 15 в 2015 году были неточности и заблуждения в формулах корней простейших тригонометрических уравнений: использование формулы корней для простейшего тригонометрического уравнения относительно синуса – к уравнению относительно косинуса и наоборот, неверная периодичность корней, описки и другие ошибки в записи корня. Эти ошибки приводили к тому, что решения уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Пример 1.

Рис. 10.1.

Комментарий: Ошибка учащегося на Рис. 10.1. заключается в незнании формул корней простейшего тригонометрического уравнения. В частности (при нахождении первой серии решений), использование формулы корней простейшего тригонометрического уравнения относительно косинуса как формулы корней уравнения относительно синуса. Эта ошибка была очень распространена среди работ участников экзамена 2015 года. Решение пункта а) содержит еще одну грубую ошибку (о которой будет сказано позднее) – невладение областью значений тригонометрических функций ( и ). При этом, выполняя пункт б), автор работы для своих неправильно найденных корней уравнения верно и обоснованно отбирает корни из указанного промежутка. Однако, это не дает основания эксперту поставить 1 балл, т.к. ошибка в пункте а) не может трактоваться как вычислительная (в соответствии с критериями оценивания). Оценка – 0 баллов.

Пример 2.

Рис. 10.2.

Комментарий: Единственной ошибкой в решении пункта а) на рисунке 10.2. является ошибка в записи корня уравнения: , вместо верного решения , . Тем не менее, корни уравнения найдены неправильно, первый пункт задачи не выполнен. Второй пункт отсутствует. Следовательно, оценка – 0 баллов. Ошибка такого характера в задаче 15 также являлась типичной для участников экзамена 2015 года.

2. Не менее редкой ошибкой при решении задачи 15 в 2015 году было неверное вычисление значения обратной тригонометрической функции: либо неверные значения аркфункций, либо неверное преобразование аркфункций отрицательного аргумента. Эти ошибки также приводили к тому, что корни уравнения указывались неверно, и как следствие – первый пункт задачи не был выполнен.

Пример 3.

.

Рис. 10.3.

Комментарий: При решении простейшего тригонометрического уравнения , учащийся допускает ошибку: считает равным , а не . Это делает корни уравнения неверными и приводит к оценке 0 баллов. Кроме этого, решение содержит неуместные условия при замене , , , .

Пример 4.

Рис.10.4.

Комментарии: В решении, приведенном на рисунке 10.4., досадная ситуация: одно лишь неверное преобразование арккосинуса отрицательного аргумента свело весь результат к 0 баллов. Учащийся, видимо, считает, что вместо верного . Возможно перенося свойство четности функции на функцию . При этом, обоснованное и безупречное выполнение пункта б) задачи (для найденного неверного решения) не приносит учащемуся 1 балл, т.к. ошибка, о которой идет речь, не является вычислительной.

3.Достаточно много ошибок было связано с незнанием множества значений тригонометрических функций синус и косинус. Учащиеся записывали формулу корней тригонометрических уравнений или не принимая во внимание условие , при котором эти уравнения вообще имеют решения.

4. К типичным ошибкам при решении задачи 15 можно отнести потерю корней при переходе от решения простейшего тригонометрического уравнения в общем виде к частному виду.

Пример 6.

Рис. 10.6.

Комментарий: Записав верное решение уравнения , упрощая выражение в правой части равенства, учащийся допускает ошибку и записывает . Последняя формула задает совсем не те значения, которые задает первая формула. В ответ пункта а) записано неверное решение. В пункте б) для неправильной серии решений правильно найдены корни из промежутка, но ошибка в пункте а) не вычислительная, поэтому оценка – 0 баллов.

Нарушение логики умозаключений, отсутствие логических связок, рассмотрение одного частного случая верного равенства вместо решения задачи.

Пример 7.

Рис. 10.7.

Комментарий: Среди работ 2015 года ошибка такого рода приобрела популярность. Учащийся сводит глобальное решение уравнения к исследованию одного частного случая. В данном случае, рассматривая равенство суммы нулю только в том случае, когда каждое слагаемое равно нулю. При чем, эти размышления проводятся без логических связок «и» или «или», но по решению очевидно, учащийся имеет в виду связку «или», что делает рассуждение еще более неправильным. Оценка – 0 баллов.