Определение корней трансцендентных

УРАВНЕНИЙ

Уравнение F(x)=0 называется трансцендентным, если хотя бы одна из функций в нем не является алгебраической.

Пример

(6.4)

Регулярных аналитических методов решения трансцендентных уравнений не существует. В каждом конкретном случае ищется свой индивидуальный прием.

Общим является только графический метод, состоящий в построении графика функций F(x).

Точки пересечения построенного графика с осью абсцисс и есть искомые действительные корни уравнения.

В среде MathCAD возможны два способа нахождения корней уравнения (6.4)

- с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

- с помощью встроенной функции root в подменю f(x) меню «Вставка» согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на примере нахождения корней уравнения (6.4).

Поскольку неизвестно решение (значения х, при которых F(x)=0), то строим его график с целью приблизительного определения искомого действительного решения.

х:= -10 … +10

Рисунок 6.1

Из графика видно, что это решение, определяемое как точка пересечения графика с осью абсцисс, лежит в промежутке значений х = 2…3.

Решение по правилу 6

Записываем многочлен из уравнения (6.4):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом месте символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» и делаем щелчок по опции «Вычислить».

На рабочем листе получается результат:

Решение по правилу 2:

Записываем уравнение:

Вводим любое имя искомого решения и знак присвоения, например:

r:=,

после которого размещаем красный визир ±.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение», а в разделе «Название функций» - root (корни). После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции с четырьмя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:

r:= root (■, ■, ■, ■)

В первое окошко вписываем имя функций F(x), во второе – переменную х, в третье и четвертое – (а) нижний и (в) верхний пределы, внутри которых ищется решение. Запись приобретает вид:

r: = root (F(x), x, a, в),

(пределы согласно рисунку 6.1 установлены 0 и 3).

Вновь вводим искомое решение, но теперь со знаком равенства:

r =,

и сразу получаем результат.

r = 2,8267802

Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученного результата, для чего вычисляем значение функции F(x) при найденном значении корня.

x:= 2.8267802

F(x) = 2.287 · 10^-7

Близость к нулю функции F(x) указывает на правильность полученного результата.

ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ЦИКЛУ

При решении самых разнообразных научно-технических задач возникает необходимость в определении зависимости функции от одного или нескольких аргументов. Например, необходимо рассчитать мощность радиосигнала в зависимости от расстояния или колебательный процесс в электрическом контуре.

При этом результаты расчета следует представить в виде массива чисел, заключив их в определенную таблицу.

При подобных многократных расчетах по одной и той же формуле или алгоритму следует:

- во-первых, выбрать «шаг» или дискрет изменения аргумента;

- во-вторых, определить точность, с которой требуется рассчитывать значение того или иного параметра.

Иногда требуется рассчитать десятки, сотни и даже тысячи значений одной и той же функции в зависимости от значения аргумента.

В подобных случаях экономный путь решения задачи состоит в организации расчета в рамках определенного цикла.

В таком цикле автоматическое обращение к функции производится согласно зашитому в программу алгоритму.

При этом пользователь указывает только шаг, точность и количество вариантов расчета.

Самый простой способ организации циклического расчета состоит в использовании оператора цикла «m…n», пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов «Матрица».

После вызова щелчком этого оператора в него следует ввести значения нижнего и верхнего пределов:

k:= M…N,

где k – дискретно на 1 изменяемый параметр, последовательно принимающий целые значения от M≥0 до N. Причем при M<0 все значения функции при 0≤k<M принимают значения, равные 0.

Аргумент при циклическом расчете изменяется с «шагом» (дискретом) ∆, значение которого может быть выбрано любым.