Временные и частотные характеристики

Работу линейного устройства определяют два вида характеристик – временные и частотные.

Передаточная функция устройства K(p), позволяющая найти временные характеристики определяется согласно преобразованию Лапласа.

Согласно преобразованию Фурье определяется коэффициент передачи K(jω), определяющий частотные свойства объекта.

Между K(p) и K(jω) существует прямая связь, позволяющая от временных характеристик перейти к частотным и обратно.

Элементарным звеном линейной системы является четырехполюсник (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1

Свойства линейного четырехполюсника можно описать с помощью линейного дифференциального уравнения n-й степени:

(5.1)

где X(t) – входной сигнал, а Y(t) – выходной.

Согласно преобразованию Лапласа-Карсона:

где φ(p) – изображение оригинала ψ(t) (значение ψ(t)=0 при t<0).

Уравнение (1) можно записать в операционной форме:

из которой получим передаточную функцию устройства:

или при разложении числителя и знаменателя на множители (n≤m):

где p_a1, p_a2, p_an – корни уравнения , называемые нулями передаточной функции K(p);

p_b1, p_b2, p_bm - корни уравнения , называемые полюсами передаточной функции K(p).

В устойчивой системе все полюсы оператора K(p) располагаются в левой полуплоскости комплексного переменного:

т.е. действительные части всех полюсов

Re(p_bk)<0, где k=0,1,2….m

5.2 КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ K(jω)

где и – спектральные плотности выходного и входного сигнала (определяются как преобразование Фурье от Y(t) и X(t)).

Учитывая, что интеграл Фурье есть частный случай преобразования Лапласа при p=jω из передаточной функции путем подстановки получим комплексный коэффициент передачи устройства:

Это выражение можно представить в виде:

,

где модуль и фазу коэффициента передачи можно выразить через действительную и мнимую части комплексного числа:

,

С помощью приведенных выражений можно определить частотные и временные характеристики линейного устройства.