Расчет цифрового ФНЧ

Совершенно естественным является стремление при разработке цифровых фильтров (ЦФ) использовать богатый опыт, накопленный специалистами по проектированию аналоговых фильтров (АФ). Поэтому наиболее распространенные методы синтеза цифровых фильтров основаны на использовании аналогового фильтра-прототипа, то есть физически реализуемого аналогового фильтра, удовлетворяющего поставленным техническим требованиям. При этом должна быть известна частотная или импульсная характеристика фильтра-прототипа.

Проектирование цифровых фильтров включает пять основных этапов:

1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов цифрового фильтра, при которых фильтр удовлетворяет требованиям к временным либо частотным характеристикам.

2. Выбор структуры (формы реализации) цифрового фильтра.

3. Задание разрядностей коэффициентов фильтра, входного и выходного сигналов и арифметических устройств.

4. Проверка с помощью математического, либо имитационного моделирования соответствия характеристик разработанного ЦФ заданным.

5. Аппаратная либо программная реализация цифрового фильтра.

Подобно расчету аналоговых фильтров, расчет цифровых фильтров, включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям.

Расчет цифровой цепи по заданным требованиям к ее характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи.

Цифровые фильтры в зависимости от обратной связи бывают рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ).

Преимущества нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

- нерекурсивные фильтры могут иметь точно линейную ФЧХ;

- мощность собственных шумов НФ, как правило, гораздо меньше, чем у РФ;

- для НФ проще вычисление коэффициентов.

Недостатки нерекурсивных фильтров по сравнению с рекурсивными сводятся к следующему:

- рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, так как они позволяют более правильно реализовать импульсную характеристику без отбрасывания ее «хвоста»;

- схемная реализация РФ намного проще, чем у НФ;

- рекурсивные фильтры позволяют реализовать алгоритмы, вообще не- реализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

В простейшей нисходящей дискретной системе использование РФ может оказаться более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или объема оборудования.

Ниже рассматривается пример использования рекурсивного цифрового фильтра.

Расчет рекурсивных фильтров косвенным методом состоит из следующих двух этапов.

1. Получение подходящей передаточной функции аналогового фильтра – прототипа Н(р).

2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию Н(p) аналогового фильтра в соответствующую передаточную функцию H(z) цифрового фильтра.

Назовем основные методы преобразования аналогового фильтра в цифровой:

- инвариантного преобразования импульсной характеристики;

- отображения дифференциалов;

- билинейного преобразования;

- Z- форм.

Для расчета наиболее подходящим простым и широко используемым является метод билинейного преобразования передаточной функции Н(р) аналогового фильтра - прототипа в соответствующую передаточную функцию Н(z) РЦФ.

Метод билинейного преобразования.

Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек р – плоскости в точки на z – плоскости и использует замены вида:

Р = 2*(z-1)/Т*(z+1);

Где Т – период частоты дискретизации, на которой работает цифровой фильтр.

Билинейное преобразование обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Н(р) аналогового фильтра – прототипа в передаточную функцию Н(z) цифрового фильтра:

Н(z)=Н(р)

Рассмотрим это преобразование.

Каждой точке комплексной р – плоскости (р = σ +јw) ставится в соответствие определенная точка z – плоскости (z = ехр(σ+јw)Т).

Мнимая ось р – плоскости (р = јw) для (-∞< w < ∞) отображается в единичную окружность в z – плоскости (z = exp(јwT)). Левая половина р – плоскости отображается в часть z – плоскости внутри единичного круга (|z| < 1).

Очень важными являются два обстоятельства.

Во-первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине р – плоскости, то при преобразовании

аналогового фильтра к цифровому получается также устойчивый фильтр.

Во- вторых, так как мнимая ось р – плоскости отображается на единичную окружность z – плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |H(јw)| аналогового фильтра сохраняется и в АЧХ |H(e^јwt)| цифрового фильтра.

Сохраняется также неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот.

Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры.

Соотношение между «аналоговыми» частотами Ω и «цифровыми» частотами w определяется уравнением

Ω = (2/т)tg(wT/2) = (2/T)(tg(πw_n);

где w_n = w/w_D – нормированная относительно частоты дискретизации «цифровая» частота.

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу:

Ω = (2/Т)tg(wT/2),

где w – реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,

Ω – расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ.

2. Рассчитать передаточную функцию Н(р) аналогового фильтра-прототипа, применяя методы расчета аналоговых фильтров.

3. Определить передаточную функцию ЦФНЧ (Н(Z)) по известной Н(р).

4. Построить схему ЦФ по Н(Z).

5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.

В данном проекте будем использовать аппроксимацию характеристик фильтров полиномами Баттерворта и Чебышева, а также Кауэра.

Пример расчета цифрового ФНЧ Баттерворта приведен в приложении 3, Чебышева – в приложении 4, Кауэра – в приложении 5.

Литература

1. Катунин Г.П., Мамчев Г.В., Попантонопуло В.Н., Шувалов В.П. Телекоммуникационные системы и сети. т.2. Учебное пособие. – Новосибирск. ЦЭРИС, 2000.

2. Ищук А.А., Оболонин И.А. Проектирование радиотехнический устройств в среде «MatchCAD». Учебное пособие. – Новосибирск: СибГУТИ, 2008.

Построение графика допустимых значений группового времени запаздывания по данным таблицы 2 - W(w). Точечный график- .

Рисунок П 5.1 – Полюса и нули НЧ фильтра прототипа

Рисунок П 5.2 – Полюса и нули ЦФ

Рисунок П 5.3 – АЧХ фильтра Кауэра

Рисунок П 5.4 – Затухание фильтра Кауэра

Рисунок П 5.5 – Групповое время запаздывания фильтра Кауэра

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ «ПРОГРАМНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

1 Основные сведения об универсальном математическом пакете программ «MathCAD» …………………………………….………… 7

1.1 Основы языка MathCAD ………………………………………… 8

1.2 Тип входного языка MathCAD ………………………...………… 9

1.3 Описание текстового окна MathCAD …………………………… 10

1.4 Курсор ввода……………………………………………….……….11

1.5 Содержание командных меню (2-ая строка) …………………… 11

1.6 Управление элементами интерфейса…………………………… 13

1.7 Выделение областей…………………………………….…..…… 14

1.8 Изменение масштаба документа………………………………… 14

1.9 Обновление экрана……………………………………………… 15

1.10 Содержание инструментальных панелей подменю «Математика» ………………………………………………………………..……….… 15

2 Основные правила вычислений в среде «MathCAD» …………..… 22

3 Редактирование программы, копирование и перенос математических

выражений, ввод текстовых комментариев……………………..…… 28

3.1 Удаление математических выражений…………………………… 28

3.2 Копирование математических выражений…………………..…… 28

3.3 Перенос математических выражений………………… ………… 29

3.4 Вписывание в программу текстовых комментариев…………… 29

4 Построение графиков……………………………………….……… 30

4.1 Построение графиков в декартовой системе координат……….. 30

4.2 Построение графиков в полярной системе координат………… 32

4.3 Изменение формата графиков…………………………….…..……34

4.4 Правила трассировки графиков…………………………………… 34

4.5 Правила просмотра участков двумерных графиков……………… 35

5 Анализ линейных устройств…………………………...…………… 36

5.1 Передаточная функция, коэффициент передачи, временные

и частотные характери……………….………………………………… 36

5.2 Коэффициент передачи K(jω) ………………………………………37

5.3 Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) …………..……… 38

5.4 Определение переходной и импульсной характеристик………… 40

5.4.1 Переходная характеристика Ф(t) ………………………….…… 40

5.4.2 Импульсная характеристика h(t) …………………………………41

6 Методы решения в среде «MathCAD» алгебраических

и трансцендентных уравнений и организация вычислений по циклу…………………………………………………………………...….43

6.1 Определение корней алгебраических уравнений………………… 43

6.2 Определение корней трансцендентных уравнений………….…… 45

6.3 Вычисления по циклу……………………………………………… 48

7 Обработка данны ……………………………………….…………… 50

7.1 Кусочно-линейная интерполяция……………………………………..50

7.2 Сплайн-интерполяция……………………………………...………… 52

8 Символьные вычисления…………………...……………………...…….55

9 Оптимизация в расчетах РЭА……………………………………………64

9.1 Методы поиска экстремума функции цели…………………………. 66

9.2 Пример записи целевой функции при синтезе фильтров……………69

10 Программирование в среде «MathCAD» …………………………… 77

10.1 Обзор инструкций…………………...………………………..………78

10.1.1 Инструкция Add line……………………………………………..…78

10.1.2 Оператор внутреннего присваивания ……………………….……78

10.1.3 Условная инструкция «IF» ……………………………….……… 79

10.1.4 Инструкция «For» ………………………….………………………79

10.1.5 Инструкция «While» …………………………………………… 79

10.1.6 Инструкция «Otherwise» ………………………………………… 79

10.1.7 Инструкция «Break» ……………………………………………… 80

10.1.8 Инструкция «Continue» ……………………………………….…. 80

10.1.9 Инструкция «Return» ……………….….………………………… 80

10.1.10 Инструкция «On error» …………………..…………………….. 80

10. 2 Создание программ………………….…………………………… 80

10.2.1 Особенность присвоения значения функции…………………… 81

10.2.2 Общие принципы задания операторов……………………….….. 82

10.3 Примеры составления программ………………………………….. 83

10.3.1 Пример задания комплекса условий…………………………….. 83

10.3.2 Пример расчета с заданной точностью…………………………...85

10.3.3 Пример расчета различных параметров одной и той же

программой ………………….……………………………………………87

10.4 Создание новых функций с помощью программирования……… 88

10.5 Поиск ошибок в программах………………………………………..89

Список литературы……………………………….……………………….97

«ПРОГРАМНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

1 Основные сведения об универсальном математическом пакете программ «MathCAD»…………………………………………………… 7

1.1 Основы языка MathCAD………………………………………………8

1.2 Тип входного языка MathCAD………………………..…...………….9

1.3 Описание текстового окна MathCAD………………………….……10

1.4 Курсор ввода……………………………………………………….….11

1.5 Содержание командных меню (2-ая строка) ………………………. 11

1.6 Управление элементами интерфейса…………………………...……13

1.7 Выделение областей………………………………………….…..……14

1.8 Изменение масштаба документа…………………..…………………14

1.9 Обновление экрана…………………….………………………...……15

1.10 Содержание инструментальных панелей подменю «Математика» ……….………………………………………………………………………….15

2 Основные правила вычислений в среде «MathCAD» …………………….22

3 Редактирование программы, копирование и перенос математических

выражений, ввод текстовых комментариев…………………….………….…28

3.1 Удаление математических выражений……………………………………28

3.2 Копирование математических выражений…………………………….…28

3.3 Перенос математических выражений………………………………….…29

3.4 Вписывание в программу текстовых комментариев………………….…29

4 Построение графиков………………………………………….………….…30

4.1 Построение графиков в декартовой системе координат……………..…30

4.2 Построение графиков в полярной системе координат………………..…32

4.3 Изменение формата графиков…………………………….…..………..… 34

4.4 Правила трассировки графиков…………………………….…………..…34

4.5 Правила просмотра участков двумерных графиков………………..……35

5 Анализ линейных устройств…………………………...…………………... 36

5.1 Передаточная функция, коэффициент передачи, временные

и частотные характеристики…………………………………………………36

5.2 Коэффициент передачи K(jω) ……………………………………………37

5.3 Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ………………………. 38

5.4 Определение переходной и импульсной характеристик…………… …40

5.4.1 Переходная характеристика Ф(t) ………………………………………40

5.4.2 Импульсная характеристика h(t) …………………………...……….…41

6 Методы решения в среде «MathCAD» алгебраических

и трансцендентных уравнений и организация вычислений по циклу…………………………………………………………………….….….43

6.1 Определение корней алгебраических уравнений………………….……43

6.2 Определение корней трансцендентных уравнений…………………..…45

6.3 Вычисления по циклу……………….……………………………….……48

7 Обработка данных……………………………………….…………………50

7.1 Кусочно-линейная интерполяция………………….……………….……50

7.2 Сплайн-интерполяция…………….……………………...………….……52

8 Символьные вычисления…………..………………………………...…….55

9 Оптимизация в расчетах РЭА………………………..…………….………64

9.1 Методы поиска экстремума функции цели…………………….……….66

9.2 Пример записи целевой функции при синтезе фильтров...……….……69

10 Программирование в среде «MathCAD» ………………………….……77

10.1 Обзор инструкций…………………..……………………..……….……78

10.1.1 Инструкция Add line…………………………………………….…..…78

10.1.2 Оператор внутреннего присваивания …………………………….…78

10.1.3 Условная инструкция «IF» …………………………………..………79

10.1.4 Инструкция «For» ……………………………..………………………79

10.1.5 Инструкция «While» …………………………………………………79

10.1.6 Инструкция «Otherwise» ……………………………………….……79

10.1.7 Инструкция «Break» ………………………………………………80

10.1.8 Инструкция «Continue» ………………………………………..….80

10.1.9 Инструкция «Return» ………………..….…………………………80

10.1.10 Инструкция «On error» …………………………………………..80

10. 2 Создание программ……………….…………………………………80

10.2.1 Особенность присвоения значения функции……………….……81

10.2.2 Общие принципы задания операторов…………………………....82

10.3 Примеры составления программ……….……………………….…..83

10.3.1 Пример задания комплекса условий…………………………..…..83

10.3.2 Пример расчета с заданной точностью………………………..….85

10.3.3 Пример расчета различных параметров одной и той же

программой…………………………………………………………..……87

10.4 Создание новых функций с помощью программирования…….…88

10.5 Поиск ошибок в программ..…….…….…………………………….89

Список литературы……………………………………………………….97

ПРЕДИСЛОВИЕ

Компьютер внес радикальные изменения в радиотехнику по трем направлениям:

– в управлении сложными радиотехническими системами;

– в автоматизированное проектирование радиотехнических устройств;

– в исследование процессов, протекающих в радиотехнических устройствах.

Роль инженера-исследователя при использовании компьютера для решения и анализа радиотехнических задач заключается в следующем:

– составление исходных уравнений;

– составление начальных условий;

– формулировка конечной цели исследования;

– составление программы согласно правилам графического интерфейса;

– трактовка полученных результатов.

Роль компьютера состоит в следующем:

– проведение огромного объема рутинных вычислений;

– поиск наиболее оптимальных решений;

– представление полученного результата в виде таблиц, графиков или в аналитическом виде.

Компьютер позволяет:

– глубже понять и усвоить физическую сущность процессов, протекающих в радиотехнических устройствах;

– исследовать проблемы, недоступные аналитическим методам (особенно в области нелинейной радиотехники);

– найти оптимальные решения при выполнении разнообразных задач;

– провести необходимые расчеты быстро и с высокой точностью.