Реализация звеньев второго порядка

На рисунке 10 представлена схема ARC – фильтра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью.

Рисунок 10 – Активный фильтр нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью

Реализация передаточных функций фильтров на активных RC-цепях осуществляется следующим образом [2]. Заданную функцию H(p) порядка m разбивают на произведение передаточных функций не выше второго порядка, то есть H(p) = H₁(p)H₂(p)…H_m(p). Каждую передаточную функцию H_i(p) реализуют в виде ARC-звена первого или второго порядка. Схему ARC-фильтра получают путем каскадного соединения фильтров. Полиномиальные фильтры (Баттерворта, Чебышева, Гаусса) можно реализовать по одной схеме. Пусть, в соответствии с расчетом, требуется фильтр 5-го порядка.

,

где k₀ – константа нормирования, а полюса функции p₁, p₂, p₃, p₄ и p₅ найдены, например, такими:

p₁ = -1.0551 + 0.0000i

p₂ = -0.8536 + 0.6202i

p₃ = -0.8536 – 0.6202i

p₄ = -0.3260 + 1.0035i

p₅ = -0.3260 – 1.0035i

Вещественный полюс p₁ дает по теореме Виета сомножитель первого порядка (p – p₁) = p + 1.0051; первая пара комплексно-сопряженных полюсов p₂ и p₃ – сомножитель второго порядка

(p – p₂)(p – p₃) = p² + 1.7072p + 1.1133;

вторая пара полюсов и – сомножитель второго порядка

(p – p₄)(p – p₅) = p² + 0.6520p + 1.1133;

Тогда

H(p) = H_p1(p)H_p2(p)H_p3(p)

Таким образом, фильтра Баттерворта пятого порядка может быть реализован двумя звеньями с передаточными функциями второго порядка и одним звеном передаточной функцией первого порядка.

Передаточная функция активной RC-цепи может быть получена любыми из методов теории цепей и имеет вид:

(1)

Для реализации в виде такой цеп полиномиального фильтрового звена второго порядка с передаточной функцией

(2)

нужно выбрать проводимости Y₁, Y₃ и Y₄ активными: G₁, G₃ и G₄, а проводимости Y₂ и Y₅ – емкостными: pC₂ и pC₅. Тогда выражение (1) запишется в следующей форме:

(3)

Сопоставление коэффициентов при p в соответствующих степенях и свободных членов из (3), выраженных через элементы фильтра, с заданными числовыми значениями коэффициентов при p и свободных членов из (2) позволяют определить значения элементов фильтра.

Выражение (3) представим в виде:

Приравнивая коэффициенты при p и свободные члены этих передаточных функций получаем три уравнения с шестью неизвестными:

Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из них. Выберем приемлемые значения проводимостей G₁, G₃ и G₄ равными 10^-3 см, то есть R₁ = R₃ = R₄ = 1кОм. Далее из 2-го и 3-го уравнений получаем:

Денормированные значения емкостей

,

,

где рад/с

Для второго звена фильтра С₃ = 18.6 нФ, С₄ = 511.2 нФ.

Аналогично получаем для третьего звена С₅ = 48.8 нФ, С₆ = 2.1 нФ.

Для первого звена первого порядка получаем С₁ = 31.8 нФ, С₂ = 3.4 нФ.