Разложение функции в ряд Тейлора-Маклорена

Известно, что любую аналитическую функцию f(x) можно разложить в степенной ряд в окрестности некоторой точки x₀.

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x₀. При x₀=0 этот ряд называют также рядом Маклорена.

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора f(x) для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией f(x)? Для того, чтобы ряд Тейлора сходился на любом интервале и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю на заданном интервале.

Следует отметить, что, если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора-Маклорена этой функции, причем это разложение единственно.

Степенные ряды находят применение в таких задачах как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности определенных интегралов решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.