Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Геометрический смысл производнойПусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Рисунок 4.1 – Касательная к кривой
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой. Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная Рисунок 4.2 – Геометрический смысл производной
По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси . Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при , ⇒ , ⇒ . Следовательно, . Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой в точке можно записать в виде
4.1.2 Понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла
В основе определения понятия определенный интеграл лежит понятие интегральная сумма. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Будем называть криволинейной трапецией фигуру ограниченную графиком функции, осью ОХ и вертикальными прямыми, проходящими через концы отрезка (Рис.4.3).
M
m
0 a=x0 xi-1 ζ xi xn= b x
Рисунок 4.3 – Смысл производной
Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия. 1. С помощью точек разобьём отрезок на n частичных отрезков . 2. В каждом частичном отрезке , i=1,2,…,n выберем произвольно точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину . 3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: . 4. Составим сумму Sn указанных произведений: . Сумма вида называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: . 5. Найдём предел интегральной суммы, при так, что . Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом, . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок - областью (отрезком) интегрирования. Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке. Основные свойства определённого интеграла 1. , где с – число 2. Свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых. 3. 4. , где a<c<b Свойство 4 позволяет разбивать отрезок интегрирования на части. Свойство 4 называют аддитивностью определённого интеграла. Свойство применяют при вычислении площадей фигур. Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, вычисление площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, объёма тел, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и многие другие прикладные задачи. Вычисление определённого интеграла. Для вычисления определённого интеграла от функции f(x) на отрезке применяют формулу Ньютона-Лейбница: , т.е. для вычисления определённого интеграла надо найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Формулу Ньютона-Лейбница также записывают в виде: Пример. Вычислить . Найдём одну из первообразных для функции , т.е. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Решение записывают в виде:
Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Таблица 4.1 –Нахождение площади фигуры с помощью определенного интеграла
Физический смысл определённого интеграла (работа переменной силы, путь при неравномерном движении точки, масса неоднородного стержня) 1. − сила, параллельная оси 0 Х и ориентированная в положительном направлении оси 0 Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку [ a, b ]. Работа А силы при этом равна: . 2. − скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки. Путь , пройденный точкой за промежуток времени , при этом равен: . 3. − плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках . Масса m такого стержня равна: .
4.1.3 Производная и определенный интеграл в программе SMath Studio
Для нахождения производной функции в программе SMath Studio используется функция diff(2) или diff(3). Отличие первой от второй заключается в том, что первая находит производную функции первого порядка, а вторая функция находит производную n -порядка. Также на панели инструментов «Функции» есть кнопка «Дифференцирование» для нахождения производной функции первого порядка (рис. 4.4).
Рисунок 4.4 – Кнопка «Дифференцирование» на панели инструментов «Функции» Для решения определенного интеграла в программе SMath Studio используется функция «int». Также на панели инструментов «Функции» есть кнопка «Определенный интеграл» для решения определенных интегралов (рис. 4.5).
Рисунок 4.5 – Кнопка «Определенный интеграл» на панели инструментов «Функции»
Пример 1. Найдем производную функции первого и второго порядка (рис. 4.6-4.10).
На листе программы SMath Studio наберем функцию diff(2) (рис. 4.6)
Рисунок 4.6 – Вызов функции «diff(2)» Получим шаблон (рис. 4.7).
Рисунок 4.7 – Шаблон функции «diff(2)»
В знаменатель шаблона внесем переменную z, а напротив черты дроби внесем нашу функцию. Наберем функцию diff(3) (рис. 4.8)
Рисунок 4.8 – Вызов функции «diff(3)»
Получим шаблон (рис. 4.9).
Рисунок 4.9 – Шаблон функции «diff(3)»
Конечный вид документа на рис. 4.10.
Рисунок 4.10 – Конечный вид документа нахождения производных Пример 2. Найдем решение определенного интеграла Для решения определенного интеграла на панели инструментов «Функции» нажмем кнопку «Определенный интеграл» и получим шаблон (рис. 4.11).
Рисунок 4.11 – Шаблон функции «int»
Заполним шаблон нашими данными и получим результат (см. рис. 4.12).
Рисунок 4.12 – Конечный вид документа нахождения решения определенного интеграла
|