Краткие теоретические сведения. Пусть требуется найти значение определенного интеграла для некоторой заданной на отрезке функции

Пусть требуется найти значение определенного интеграла для некоторой заданной на отрезке функции . Для некоторых функций значение интеграла можно найти точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования.

Идея численного интегрирования вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b.

Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подынтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подынтегральной функции в точках разбиения.

Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

13.1.1 Методы прямоугольников

а) Метод левых прямоугольников

Разбивается исследуемый отрезок на n частичных отрезков. Длина каждого частичного отрезка рассчитывается как . Рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных отрезков.

Тогда получим сумму:

Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников представлена на рисунке 13.1 ), который показывает, что точное значение интеграла (площадь криволинейной области под графиком f(x)) заменяется на сумму площадей прямоугольников, построенных под кусочно-постоянной интерполирующей функцией.

б) Метод правых прямоугольников

Аналогично может быть получена формула правых прямоугольников.

При составлении суммы рассматриваются значения функции y=f(x) в точках, являющихся правыми концами частичных отрезков (см. рисунок 13.2 )).

13.1.2 Метод трапеций

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную, площадь которой вычисляется по формуле:

.

Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций.

Рисунок 13.3 – Иллюстрация метода трапеций.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Нахождение экстремумов функций