Практическое занятие №5. Построение схем и эпюр

Построение схем взаимодействия (этажных схем) многопролетных статически определимых балок. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

В результате изучения темы студент должен:

уметь строить этажные схемы;строить эпюры поперечных сил и изгибающихмоментов.

ПРИМЕР 5.

Для трехпролетной статически определимой балки, составить схему взаимодействия ее элементов, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Значения нагрузок: q = 20 кН/м; F₁ = 40 мН; F₂ = 20 кН; F₃ = 30 кН.

РЕШЕНИЕ:

1. Составление схемы взаимодействия элементов

Данная балка состоит из двух основных балок (III и IV ), подвесной балки I и передаточной II. Римскими цифрами намечен порядок их расчета с учетом взаимодействия.

2. Расчет балки I (рис. 9, а):

а). определение опорных реакций. В данном случае опорные реакции равны между

собой:

V_C = V_D = q·4/2 = 20·4/2 = 40 кН

б). построение эпюры поперечных сил (рис. 9,б) Вычисляем для этого поперечные силы в характерных сечениях: Q_C = V_C = 40 кН; Q_D = Q_C -q·4 = 40 - 20·4 = - 40кН

(или Q_D = - V_D - - 40кН).

в). построение эпюры изгибающих моментов (рис.9,в). для простой балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра ограничивается квадратной параболой с максимальной ординатой посередине:

М_max = q·l²/8 = 20·4²/8 = 40 кН·м

∑M_L = V_H. 6– F_2· 4- F₃. 2 = 0,

Откуда V_H= (F_2· 4+ F₃. 2) /6 = 23,3 кН

Проверка: ∑Y = V_H – F₂ – F₃ + V_L = 23,3 — 20 — 30 + 26,7 = 50 – 50 = 0, следовательно,

опорные реакции определены правильно;

б) построение эпюры поперечных сил (рис. 10,6). Напоминаем, что там, где приложена сосредоточенная сила, поперечную силу надо определять в сечении чуть левее точки приложения силы (Q^лев) и в сечении чуть правее этой точки (Q^пр):

Q_H = V_H = 23,3 кН;

Q_I^лев = Q_H = 23,3 кН;

Q_I^пр = Q_I^лев - F₂ = 23,3 – 20 = 3,3 кН

Q_К^лев = Q_I^пр= 3,3 кН

Q_К^пр = Q_К^лев – F₃ = 3,3 – 30 = - 26,7 кН; Q_L = Q_К^пр = - 26,7 кН;

в) построение эпюры изгибающих моментов Изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_H = 0;

M_I = V_H · 2 = 23,3 · 2 = 46,6 кНм;

М_K = V_L·2 = 26,7.2 = 53,4 кНм;

M_L = 0

4. Расчет балки III с учетом давления на нее в точке С от балки I, равного и противоположно направленного опорной реакции V_c (рис. 11, а):

а) определение опорных реакций: ∑М_А = - V_B·5 + V_C·7 + q·7·3,5 = 0

Откуда V_B = (V_C·7 + q·7·3.5) / 5 = (40·7 + 20·7·3,5) / 5 =154 кН

∑М_B = V_A·5 + V_C·2 - q·7·1,5 = 0

Откуда V_А = (- V_C·2 + q·7·1,5) / 5 = (- 40·2 + 20·7·1,5) / 5 = 26 кН

Проверка: ∑Y = V_А - q·7 + V_D – V_C = 26 - 20·7 +154 – 40 = 0

б). построение эпюры поперечных сил (рис. 11. б):

Q_A = V_А= 26 кН

Q_B^лев = Q_A - q·5 = 26 -20·5 =- 74 кН Q_B^пр = Q_B^лев + V_B = - 74 + 154 = 80 кН

Q_С = Q_B^пр - q·2 = 80 - 20·2 = 40 кН в). в) построение эпюры изгибающих моментов (рис. 11, в):

изгибающий момент в произвольном сечении участка АВ на расстоянии x от точки А:

M _x = V_A· x - q· x· x /2 = V_A· x - q· x ²/2 = 26 x - 20· x ²/2 = 26 x - 10 x ²

Полученное выражение справедливо при x = (0…5) м:

при x = 0 М_А = 0

при x = 2,5 M _x = 26·2,5 - 10·2,5² = 2,5 кН·м

при x = 5 M _x = 26·5 - 10·5² = - 120 кН·м

Для определения максимального изгибающего момента на этом участке надо найти расстояние x ₀ до сечения, в котором поперечная сила равна нулю.

Приравниваем нулю поперечную силу в этом сечении: Q _x0 = V_А - q· x ₀ = 0, откуда

x ₀= V_А/ q= 26 / 20 = 1,3м

Подставив значения x ₀ в выражение для M _x, получим М_max = 26·1,3 - 10·1,3²

= 16,9 кН·м

По найденным значениям М строим эпюру для участка АВ.

Изгибающий момент в произвольном сечении участка ВС на расстоянии x ₁ от точки С:

M _{x 1} = - V_С· x ₁ - q· x ₁²/2 = - 40· x ₁ - 20· x ₁²/2 = - 40 x ₁ - 10 x ₁²

Значение x ₁ на рассматриваемом участке может меняться от 0 до 2 м:

при x ₁ = 1 м M _{x 1} = - 40 · 1 - 10 ·1² = - 50 кН·м при x ₁ = 2 м M_В = - 40 · 2 - 10 ·2² = - 120 кН·м

По найденным значениям строим эпюру М для участка ВС.

5. Расчет балки IV с учетом давления на нее в точке D от балки Iи давления в точке Н от балки II (рис. 12, а):

а). определение опорных реакций:

∑M_Е = - V_D. 2 + F_1· 2,5– V_G. 5 + V_H. 7 = 0,

откуда V_G = ( - V_D. 2 + F_1· 2,5 + V_H. 7) /5 = - 40·2 + 40·2.5 + 23.3·7) / 5 = 36,6 кН

∑M_G = - V_D. 7 + V_E. 5 - F_1· 2,5 + V_H. 2 = 0,

откуда V_E = (V_D. 7 + F_1· 2,5 - V_H. 2) /5 = 40·7 + 40·2,5 – 23,3·2) / 5 = 66,7 кН

Проверка: ∑Y = - V_D + V_E - F_1· + V_G - V_H = -40 + 66,7 – 40 + 36,6 – 23,3 = - 103,3 + 103,3 = 0

б). построение эпюры поперечных сил (рис. 12, б):

Q_D =- V_D= - 40 кН

Q_E^лев = Q_D = - 40 кН

Q_E^пр = Q_E^лев + V_E = - 40 + 66,7 = 26,7 кН Q_F^лев = Q_E^пр= - 40 кН

Q_F^пр = Q_F^лев - F₁ = 26,7 - 40 = - 13,3 кН

Q_G^лев = Q_F^пр= - 13,3 кН

Q_G^пр = Q_G^лев + V_G = - 13,3 + 36,6 = 23,3 кН

Q_H = Q_G^пр = 23,3 кН в). построение эпюры изгибающих моментов (рис. 12, в).

изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_D = 0;

M_E = - V_D · 2 = - 40 · 2 = - 80 кНм;

M_F = - V_D · 4,5 + V_E · 2,5 = - 40·4,5 + 66,7·2,5 = - 13,3кНм;

M_G = - V_H · 2 = - 23,3 · 2 = - 46,6 кНм; М_H = 0;

6. Построение общей эпюры поперечных сил для всей шарнирной балки. Эпюры Q, полученные для отдельных балок, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (рис. 13, в).

7. Построение общей эпюры изгибающих моментов для всей шарнирной балки. Эта эпюра (рис. 13, г) строится аналогично общей эпюре Q.