Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр s с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:

или .

Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство и обозначим d/s=q.

Имеем:

и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину .

Оказывается, величина распределена по закону с n–1 степенями свободы. Плотность распределения c имеет вид:

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра s, а зависит только от объема выборки n.

Преобразуем неравенство так, чтобы оно приняло вид . Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е.

.

Предполагая, что q<1, перепишем (A) в виде:

,

далее, умножим все члены неравенства на :

или .

Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство будет справедливо, равна:

.