Задачі одновимірної оптимізації

Задача одновимірної оптимізації ставиться таким чином: значення параметра Х цільової функції f(x), який називають проектним параметром, знаходяться на інтервалі дослідження [a, b]. В процесі пошуку оптимуму цільової функції цей інтервал, який називається інтервалом невизначеності, постійно зменшується (звужується), тому методи одновимірної оптимізації іноді називають методами звуження інтервалу невизначеності.

Вибір чисельного методу в першу чергу залежить від виду цільової функції, яка може бути однопараметричною і багатопараметричною (рис. 13.3, 13.4).

Рисунок 13.3 – Однопараметрична цільова функція

Рисунок 13.4 – Двопараметрична цільова функція

Деякі алгоритми оптимізації пристосовані до пошуку максимума, а інші – для пошуку мінімуму.

Однак, незалежно від типу задачі, яка розв’язується на екстремум (оптимум) можливо користуватись одним і тим же алгоритмом, так як задачу мінімізації можливо легко переробити в задачу на пошук мінімуму, змінивши знак цільової функції на протилежний (рис. 13.5).

Рисунок 13.5 – Зміною знаку цільової функції на протилежний задача на мінімум перетворюється в задачу на максимум

Загальна постановка задачі для методів одновимірної оптимізації ставиться наступним чином: нехай значення параметра Х знаходиться нa відрізку [a,b],а цільова функція унімодальнa в області, яку досліджуємо. Більшість чисельних методів одновимірної оптимізації - це методи звуження відрізка, а саме: метод розділення відрізку навпіл, метод дихотомії, метод золотого перерізу, метод Фібоначчі.

В процесі одновимірної оптимізації цільової функції на ЕОМ можна виділити два етапи:

1) встановлення меж відрізка, на якому реалізується процедура пошуку оптимуму;

2) зменшення відрізка до заданої похибки обчислення .

Перший етап реалізується за допомогою евристичних методів пошуку і є дуже складним. Другий - називають правилом виключення відрізків, реалізують алгоритм пошуку, що дозволяє знайти точку оптимуму шляхом послідовного виключення частин початкового обмеженого відрізка [a, b], тобто за допомогою ітераційних алгоритмів. В якості умови закінчення ітераційного процесу використовується момент, коли підінтервал, що залишився, зменшиться до достатньо малих розмірів (зазвичай для цього задають значення заданої похибки обчислення ).