Розробка математичної моделі задачі

Можна сміливо сказати, що все наше життя пов’язане з розробкою, реалізацією, дослідженням та аналізом моделей. У повсякденній життєдіяльності ми навіть не підозрюємо, що наша діяльність здійснюється завдяки створеній у нашій свідомості моделі. В кращому випадку ми говоримо, що діємо згідно з розробленим планом. А план дій – фактично і є одним із видів моделей. Наприклад, виконуючи кидок баскетбольного м’яча в кільце з деякої точки майданчика, ми свідомо обираємо кут, напрям і силу кидка саме тому, що попередньо нами було створено модель цієї дії, навіть, якщо ми просто йдемо додому – будуємо модель мінімальної затрати часу на подолання шляху.

З іншого боку, моделювання окремих ситуацій, процесів, явищ – є властивість розумової діяльності людини і включене в загальну структуру сприйняття інформації про світ, пізнання його. З точки зору психології формування психологічної готовності до будь-якої діяльності людини є концептуальною моделлю цієї діяльності (мислительної картинки процесу і умов, у яких він протікає). Основною особливістю концептуальної моделі є те, що вона включає в себе не тільки інформацію, яка сприймається в даний момент, а й попередній досвід людини. Вона виступає як деякий динамічний синтез наявної інформації і інформації, що добувається з пам’яті. Ось чому концептуальна модель виступає в свідомості людини в формі уявлень, основними атрибутами якої є: узагальнення (відображення лише найзагальніших і сталих ознак об’єктів); схематичність (виділення тих елементів об’єктів, які виступають як фундаментальні, найбільш інформаційні; панорамність (відображення як цілого)

Перший варіант моделі для будь-якого оригіналу завжди виникає у свідомості людини. Потім на основі раніше набутих знань та аналізу створеної моделі вона може поступово змінюватися та вдосконалюватися й набувати різних форм. Наприклад, учень розв’язуючи задачу визначення величини струму в електронній схемі, яка описана словесно, спочатку створює модель її розв’язання у своїй свідомості, потім креслить на папері модель електронної схеми та ін. Архітектор спочатку створює модель будинку у своїй свідомості, потім він створює ескіз будинку на папері. Надалі може бути виготовлено макет і проект будинку. При цьому на всіх етапах один вид моделі доповнює інші та впливає на їх удосконалення. Може трапитися так, що результати проектування не задовольняють початкові вимоги, тоді весь процес може бути повторено, враховуючи попередні результати

Із усього сказаного випливає, що моделювання реальних об’єктів, явищ навколо нас є природним для людини і розвиває її мислення.

Ще один приклад: розвиток людства має бути погодженим з граничними навантаженнями на біосферу. Темпи росту впливу на природу мають бути погоджені з ростом адаптаційних можливостей біосфери. При розв’язанні проблеми людина-біосфера, що носить системний, міждисциплінарний характер, тут вкрай необхідна культура моделювання

Основним напрямком підвищення якості підготовки спеціалістів є розвиток творчих здібностей, що спираються на активні форми і методи навчання, як приклад, моделювання об’єктів, процесів виробничих і практичних ситуацій. На сучасному етапі комп’ютеризація вважається засобом інтенсифікації і підвищення якості навчального процесу. У зв’язку з цим стало актуальним завдання залучення всіх студентів до нової інформаційної культури, яка базується на використанні нового універсального методу пізнання дійсності – методу математичного моделювання (МММ).

Метод математичного моделювання – це новий науковий метод, який ще називається математичним експериментом. Під час його застосування у розвивається алгоритмізоване (структурне) і логічне мислення, формується потреба і готовність до використання ПК, а також усвідомлюється необхідність у вивченні й використанні міжпредметних зв’язків.

З іншого боку можна багато говорити про досягнення в науці і техніці, їх використання при вирішенні найрізноманітніших проблем сучасного суспільства. Усе це було б неможливо без попереднього математичного моделювання. Під цим розуміється створення та вивчення математичних моделей досліджуваних об’єктів з допомогою комп’ютера.

Математична модель — це опис певного явища або процесу за допомогою математичної символіки. Математичне моделювання вважають потужним методом пізнання зовнішнього світу, прогнозування й управління, отже, аналіз математичної моделі дозволяє проникнути в суть досліджуваних явищ.

Процес математичного моделювання можна поділити на чотири етапи.

Перший етап — формулювання законів, за якими зв'язуються між собою основні об'єкти моделі. Він вимагає широкого знання фактів відносно досліджуваного явища і глибокого проникнення в їх взаємозв'язок. Як правило, досліджуване явище супроводжується великою кількістю взаємодій між багатьма об'єктами явища. Простежити за всіма об'єктами і зв'язками між ними дуже важко й громіздко. Тому досліднику необхідно виділити основні об'єкти і основні взаємодії між ними для того, щоб математична модель була доступною для подальшого вивчення. Цей етап завершується записом у математичній формі сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі.

Другий етап — дослідження математичних задач, до яких зводиться математична модель. Основним тут є розв'язування прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних для подальшого їх зіставлення з результатами спостережень досліджуваного явища. На цьому етапі важливу роль відіграє математичний апарат, необхідний для аналізу математичної моделі, і обчислювальна техніка — потужний засіб для одержання кількісної вихідної інформації як результату розв'язування складних математичних задач. При цьому широко застосовуються методи обчислювальної математики

Отже, на цьому етапі дослідник повинен вибрати перш за все апарат для розв'язання сформульованої на першому етапі математичної задачі, а потім розробити алгоритм розв'язання задачі на ПЕОМ.

Третій етап — перевірка, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерій практики, тобто перевірка, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. Якщо відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнятою.

Часто при побудові моделі деякі її характеристики залишаються невизначеними. Задачі, в яких визначаються характеристики моделі таким чином, щоб вихідна інформація була порівняною в межах точності спостережень з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. Якщо математична модель така, що ні при якому виборі характеристик ці умови не можна задовольнити, то модель неприйнятна для дослідження цих явищ

Застосування критерію практики для оцінки математичної моделі дозволяє робити висновок про правильність положень, які лежать в основі моделі, яку треба вивчати. Цей метод є єдиним методом вивчення не доступних нам безпосередньо явищ макро- і мікросвіту.

Четвертий етап — подальший аналіз моделі в зв'язку з накопиченням даних про досліджувані явища і модернізація моделі. У процесі розвитку науки і техніки дані про досліджувані явища все більше і більше уточнюються і наступає момент, коли висновки, одержані на основі існуючої математичної моделі, не відповідають нашим знанням про явище. Тоді виникає необхідність побудови нової більш досконалої математичної моделі.

Метод математичного моделювання, який зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, займає провідне місце серед інших методів дослідження особливо з появою ПЕОМ. Він дозволяє проектувати нові технічні засоби, які працюють в оптимальних режимах, для розв'язання складних задач науки і техніки

Отже, математика дає нам той апарат, який допомагає якомога досконаліше дослідити все, що нас оточує, з чим ми стикаємося щодня, або те, що ми не можемо дослідити прямими методами («незбагненне», «недосяжне»). Найголовнішим є те, що математика зі своїми методами дає змогу нам завдяки розвитку структурного (алгоритмічного) і логічного мислення усвідомити необхідність у вивченні й використанні міжпредметних зв’язків, сформувати потребу і готовність до роботи з ПК. Завдяки цим властивостям можна легко і швидко виділяти головне, суттєве, загальне, структуру і взаємозв’язки елементів і, як наслідок, швидко орієнтуватися в проблемних ситуаціях, виробляти психологічну готовність до діяльності

Математичне моделювання — потужний метод пізнання зовнішнього світу, прогнозування й управління. Аналіз математичної моделі дозволяє проникнути в суть досліджуваних явищ. Немає такої сфери життя і діяльності людини, де б не використовувалися математичні моделі.

Історія методології математичного моделювання запевняє: вона може і повинна бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій всього процесу інформатизації суспільства

Розглядаючи питання ширше, необхідно пригадати, що моделювання присутнє в усіх видах творчої діяльності людей різноманітних спеціальностей – дослідників, підприємців, політиків і воєначальників.

Уміння створювати адекватні математичні моделі реальних ситуацій має бути невід’ємною частиною математичної освіти

Оточуючий світ єдиний – і весь він, необмежений і незбагненний, пізнається людиною за допомогою моделі, математичної моделі.