Математикалық маятник

Созылмайтын, салмақсыз жiпке iлiнген материялық нүктенi математикалық маятник деп атайды.

Математикалық маятниктiң еркiн тербелiсiн сипаттайтын дифференциалдық теңдеу: .

Тербелiс периоды: , циклдiк жиiлiгi: .

Математикалық маятниктiң тербелiс периоды тек маятниктiң ұзындығына және еркiн түсу үдеуiне тәуелдi болады.

Серппелi маятник

Массасы жүк iлiнген, қатаңдығы -ға тең серппеден тұратын жүйенi серiппелi маятник деп атайды.

Серiппелi маятниктiң еркiн тербелiсiн сипаттайтын дифференциалдық теңдеу:

.

Тербелiс периоды: , циклдiк жиiлiгi: .

Серппелi маятниктiң тербелiс пероды жүктiң массасына тәуелдi болады.

Шетiн тербелiстер

Механикалық жүйенiң тербелмелi қозғалысында үйкелiс немесе кедергі күштерінің болатыны белгiлi. Осы күштерді жеңуге тербелмелi жүйе энергиясының белгiлi бiр бөлiгi жұмсалып отырады да, жүйенің толық энергиясы кемиді. Нәтижесінде тербелiс амплитудасы кеміп, тербеліс өшеді. Осындай тербелiстi өшетiн тербелiс деп аталады.

Бұл кездегi тербелмелi қозғалыс теңдеуi былай өрнектеледi:

-қайтарушы күш, кедергі

,

екенiн ескерiп, жоғарыдағы өрнекті былай жазамыз:

немесе .

- белгiлеулерiн енгiзе отырып, өшетiн тербелiстiң дифференциалдық теңдеуiн аламыз:

.

мұндағы: β-өшу коэффициентi, ω₀ -жүйенiң меншiктi тербелiсiнiң циклдiк жиiлiгi,

Өшетiн тербелiстердiң циклдiк жиiлiгi:

немесе .

Ерiксiз тербелiстер

Үйкелiс күшiнiң әсерiнен тербелiп тұрған жүйенiң тербелiсi бiрте-бiрте өше бастайды. Ал ендi тербелмелi жүйеге сырттан қосымша күшпен әсер ететiн болсақ, онда ол жүйе тербеле бастайды. Периодты сыртқы күштiң әсерiнен пайда болатын тербелiстi ерiксiз тербелiс деп атайды. Жүйеге әсер ететiн сыртқы күш (Ғ_с.к.) мына гармоникалық заңмен өрнектеледi:

,

мұндағы: Ғ₀- сыртқы күштiң амплитудасы, ω- сыртқы күштiң циклдiк жиiлiгi.

Сырттан әсер ететiн күштiң жиiлiгi ω, ал тербелiп тұрған жүйенiң жиiлiгiн ω₀ десек, онда Ньютонның 2-шi заңы бойынша

немесе .

Осы өрнектiң екi жағын да m-ге бөлiп, белгiлеулерiн енгiзсек, ерiксiз тербелiстiң дифференциалдық теңдеуiн аламыз:

.

Теңдеудiң дербес шешiмі:

.

Бұл тербелiстiң амплитудасы мен фазасы:

және .

Егер сырттан әсер ететiн күштiң жиiлiгi (ω) тербелiп тұрған жүйенiң меншікті жиiлiгiне (ω₀) тең болса, онда ерiксiз тербелiстiң амплитудасы күрт артады. Оны амплитуданың соңғы формуласынан байқауға болады. Осы кезде байқалатын құбылысты, яғни амплитуданың өте тез артуын резонанс деп атайды.

Суретте 4-шi қисық өшу коэффициентi ең үлкен, 1-шi қисық ең кiшi болған жағдайдағы резонанстық графиктер берiлген.