Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формулы длин дуг плоских кривых
|
|
1) Если L – длина кривой, заданной уравнением 
, 
, то L= 
2) Если L – длина кривой, заданной параметрическими уравнениями 
, 
, 
, то L= 
3) Если L – длина кривой, заданной в полярной системе координат уравнением 
, 
, то L= 
.
3. Формулы объёмов тел вращения
1) Если 
– объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции 
, , вокруг оси Ох, то 
.
2) Если 
– объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции 
, 
, вокруг оси Оу, то 
Формулы площадей поверхностей вращения
Если 
– площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением , , вокруг оси Ох, то 
. Если 
– площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением 
, , вокруг оси Оу, то 
.
ЗАДАНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант № 1
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
вокруг оси Ох.
Вариант № 2
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
вокруг оси Оу.
Вариант № 3
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
вокруг оси Ох.
Вариант № 4
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 5
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 6
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 7
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 8
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 9
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 10
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 11
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 12
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Оу.
Вариант № 13
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ох.
Вариант № 14
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 15
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 16
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 17
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 18
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 19
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 20
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант №21.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 22
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 23
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 24
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 25
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 26
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) (вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 27
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Ох.
Вариант № 28
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 29
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне кардиоиды).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оx.
Вариант № 30
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
, вокруг оси Оу.
Вариант № 0
1. 
2. 
3. 
4. 
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
;
б) 
;
в) 
(вне окружности).
Выполнить схематический чертеж.
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением 
б) параметрическими уравнениями 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
вокруг оси Оy.
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 0
№ 1 – № 4. Вычислить определенные интегралы.
Решение
1. 
Ответ: 
2. При сведении данного интеграла к табличному используем преобразования дифференциала (операция «подведение под знак дифференциала»):
Ответ: 
3. Используя формулу интегрирования по частям: 
, имеем:
Ответ: 
4. Введем новую переменную t:
Подынтегральное выражение представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя больше, чем степень знаменателя, поэтому необходимо разделить числитель на знаменатель в столбик.
Ответ: 
№ 5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .
Решение
По определению несобственного интеграла 
= 
= 
= 
.
Ответ: .
№ 6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
а) 
Решение
1) 
– парабола с вершиной в точке 
, 
. Вычислим точки пересечения параболы с заданной прямой 
:
Тогда фигура примет вид:
2) 
= 
.
Ответ: 
кв. ед.
б)
Решение
Построим фигуру, ограниченную заданными линиями:
Очевидно, что фигура является симметричной относительно оси Оу, следовательно, вычислим половину искомой площади S1. Причем целесообразно воспользоваться следующей формулой вычисления площади: 
. Выразим х через у:
; 
.
В нашем случае для площади S1: 
, 
. Тогда 
Ответ: 
кв. ед.
в) (вне окружности).
Решение
Построим фигуру, ограниченную заданными линиями:
Воспользуемся формулой вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат: 
= 
.
Ответ: 
кв. ед.
№ 7. Вычислить длину дуги кривой, заданной:
а) уравнением
Решение
Используем формулу 
.
Пределами интегрирования будут 
.
Найдем 
и подставим в формулу:
Ответ: 
лин. ед.
б) параметрическими уравнениями
Решение
Используем формулу 
.
Найдем 
и подставим в формулу:
Ответ: 6 лин. ед.
№ 8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций
вокруг оси Оy.
Решение
Строим тело вращения по заданным линиям.
Объем полученного тела вращения равен сумме объемов составляющих его тел V=V1+V2.
Для вычисления объема тела используем формулу 
Для V1 имеем: 
.
Для V2 имеем: 
.
Следовательно, 
Ответ: π куб. ед.
Список рекомендуемой литературы
1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: учебник для вузов. Т. 1 – М: Дрофа, 2005. –284 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.– М.: 2001.
3. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2001.
4. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов с решениями. Т. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Г.Я. Кожевникова, С. П. Данко.– М.: ОНИКС, Мир и образование, 2008.– 368 с.
5. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с.
7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 575 с.
8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова,
Б. П. Демидовича.– М.: 1986, 1987.
9. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. - 479 с.
10. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 304 с.
Математика
Составители: Данович Лариса Михайловна
Пергун Ольга Владимировна
Круглова Инна Александровна
Колесникова Елена Алексеевна
Компьютерная верстка Пергун О. В.
Редактор И. С. Маркосова
________________________________________________________________
Подписано в печать Формат 60´841/16.
Бумага оберточная №1. Офсетная печать.
Печ.л. л. 3,5 Тираж экз. Усл.печ.л. 3,2 Изд.№
Уч.-изд.л. 2,4 Заказ №
Цена руб.
Лицензия на издательскую деятельность: ИД № 02586 от 18.08.2000 года.
Издательство КубГТУ: 350072, Краснодар, ул.Московская, 2, кор.А
Лицензия на полиграфическую деятельность: ПД № 10-47020 от 11.09.2002г.
Типография КубГТУ:350058, Краснодар, ул.Старокубанская, 88/4.
Date: 2016-05-18; view: 532; Нарушение авторских прав