Анализ цепей методом законов Кирхгофа

Рассмотрим на примере схемы рис. 1.2.

Общее число уравнений, записанных на основании законов Кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа вытекает из принципа непрерывности электрического тока, согласно которому ни в одной точке электрической цепи заряды не исчезают и не возникают: сколько зарядов к этой точке прибывает, сколько от нее и уходит. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи.

Таким образом, число уравнений, составляемых по первому N₁ и второму N₂ законам Кирхгофа:

N₁ = у- 1 = 2-1 = 1;

N₂ =в-(у-1) = 3-(2-1) = 2,

где у - число узлов; в - число ветвей.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

.

При записи все токи, подходящие к узлу, можно считать положительными, а уходящие от узла - отрицательными.

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на пассивных элементах, входящих в этот контур:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

Уравнения по законам Кирхгофа:

для узла (1): I₁+I₂+I₃=0;

для контура I: I₁(R_В1+R₁) -I₂R₂=E₁-E₂;

для контура II: I₂R₂-I₃(R_В3+R₃) =E₂-E₃.

3. Метод узловых потенциалов. В этом методе в качестве неизвестных принимают потенциалы узлов. Метод основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома.

Один из узлов выбирают в качестве базового (т.е., потенциал этого узла считают равным нулю). Сообщить узлу нулевой потенциал можно, заземлив узел. При этом токораспределение в схеме не изменится.

На примере схемы рис.1.2, имеющей 2 узла, заземляем узел 2, тогда потенциал узла 1, умноженный на сумму проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле, равен узловому току 1-го узла.

Узловой ток определяется алгебраической суммой токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к узлу 1 на сопротивления данных ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, ток принимается со знаком плюс, если от узла - со знаком минус.

Далее определим токи в ветвях согласно закону Ома, используя вычисленный потенциал узла (1) и потенциал узла (2).

Примечание: для упрощения расчетов в схемах с числом узлов более двух, участки с последовательно-параллельным соединением пассивных элементов, можно заменить эквивалентным сопротивлением.

Закон Ома:

а) для пассивного участка (не содержащего ЭДС): ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению данного участка;

б) для активного участка (содержащего источник энергии):

где U - напряжение между началом и концом участка, совпадающее по направлению с током;

∑E- алгебраическая сумма ЭДС, действующих на выбранном участке;

R_∑-суммарное сопротивление участка.

Например, для схемы рис. 1.2 закон Ома для первой ветви:

Примечание: если ЭДС совпадает по направлению с положительным направлением тока, то она записывается с положительным знаком, а если не совпадает - с отрицательным

Если в результате расчета какой-либо ток получится отрицательным, то это значит, что истинное направление этого тока противоположное тому, которое обозначено на схеме.

4. Режимы работы источников электрической энергии.

Источники ЭДС могут работать в двух режимах. Если истинное направление тока совпадает с направлением ЭДС источника, то он работает в режиме генератора энергии. Если истинное направление тока противоположно направлению ЭДС, то он работает в режиме активного приемника.

5. Уравнение энергетического баланса: суммарные мощности источников и приемников равны.

Примечание: при записи баланса необходимо учитывать режимы работы источников энергии.

Это уравнение в развернутом виде для цепи (рис. 1.2)

E₁I₁ + E₂I₂ + E₃I₃ = I₁²(R_В1 + R₁) + I₂² R₂ + I₃² (R_В3 + R₃).

Допускаемая погрешность энергетического баланса δ≤3%

.

Если погрешность превышает 3%, то в расчетах допущена ошибка, которую необходимо отыскать и устранить, повторив расчет.