Густина квантових станів у зонах дозволених енергій

Лекція 5. Статистика електронів і дірок в напівпровідниках

1. Густина квантових станів у зонах дозволених енергій

2. Функція розподілу Фермі-Дірака та Максвела-Больцмана

3. Концентрація електронів і дірок в зонах

4. Невироджений напівпровідник

5. Закон діючих мас

6. Сильно вироджені напівпровідники

7. Концентрація електронів і дірок на локальних рівнях

8. Положення рівня хімічного потенціалу у власному невиродженому напівпровіднику

9. Положення рівня Фермі у напівпровідниках з одним типом однозарядних донорів

10. Задачі.

У стані термодинамічної рівноваги при фіксованій температурі існує певний розподіл електронів за різними квантовими станами. В результаті встановлюється певна концентрація електронів в зоні провідності n_o і дірок у валентній зоні p_o, електронів на акцепторних рівнях n_a і дірок на донорних рівнях p_d. Обчислення концентрації рухомих і локалізованих носіїв заряду становить основне завдання статистики електронів і дірок в напівпровідниках.

Проблема складається з двох частин: а) квантово-механічної (знаходження числа можливих квантових станів електронів) і б) статистичної (знаходження фактичного розподілу електронів за квантовими станами при термодинамічній рівновазі).

Густина квантових станів у зонах дозволених енергій

Стаціонарні квантові стани задаються хвильовим вектором k і номером зони дозволених енергій. Число дозволених станів у зоні Бріллюена дорівнює числу елементарних комірок N_k в кристалі.

Об’єм зон Бріллюена в просторі квазіімпульсів р:

На один квантовий стан з урахуванням принципу Паулі припадає об’єм у зоні Бріллюена

Кількість станів електронів в інтервалі імпульсів від p до p+dp в одиниці об’єму кристала

Перейдемо до сферичної системи координат

dp_xdp_ydp_z = 4 πp ² dp

Для простого закону дисперсії

звідки

Знайдемо

Отже, густина станів

Аналогічно запишемо для дірок

У більш загальному випадку

Величну

називають ефективною масою густини станів.

Якщо в зоні Бріллюена є ν еквівалентних долин, тоді

Якщо ми розглядаємо германій чи кремній, для яких характерна наявність важких та легких дірок, тоді в околі екстремуму (центр зон Бріллюена) отримаємо

У цьому випадку густина станів буде визначатися сумою густин станів у підзонах легких і важких дірок

Для спрощення викладок часто вводять ефективну масу дірок

Виявилось, що для германію m_pd = 0,35 m_o, а для кремнію m_pd = 0,56 m_o.