Допущения для однофакторного дисперсионного анализа

1. Набор данных состоит из k случайных выборок из k генеральных совокупностей.

2. Все генеральные совокупности имеют нормальное распределение и одинаковые стандартные отклонения, т.е. σ₁ = σ₂ = ….. =σ_k. Это позволяет использовать для проверки гипотезы стандартные статистические таблицы.

Обратите внимание, что здесь отсутствует допущение о средних значениях нормальных распределений. Средние могут принимать любые значения — процедура проверки гипотез будет работать для любых значений средних.

В примере с поставщиками и качеством продукции допущения заключаются в том, что данные отдела контроля качества представляют собой три случайные выборки, каждая из генеральной совокупности оценок качества продукции одного из поставщиков. Более того, предполагается, что для каждого поставщика распределение оценок является нормальным и все три поставщика имеют одинаковую вариацию оценок качества (стандартное отклонение генеральной совокупности). Заметим, что если, например, провести анализ блочных диаграмм для выборок, то можно убедиться, что допущения относительно нормальных распределений и равенства вариации разумны и приблизительно удовлетворяются для этого набора данных.

Гипотезы

Нулевая гипотеза для F-теста в однофакторном дисперсионном анализе ут­верждает, что k генеральных совокупностей (представленных k выборками) имеют одно и то же среднее значение. Альтернативная гипотеза утверждает, что средние не все равны между собой, т.е. по меньшей мере, у двух совокупностей средние различаются.

Гипотезы для однофакторного дисперсионного анализа

Нулевая гипотеза:

H₀: μ₁ = μ₂ = ……… = μ_k (все средние равны между собой).

Альтернативная гипотеза:

H₁: μ_i ≠ μ_j по крайней мере для одной пары генеральных совокупностей (не все средние равны).

F-статистика

F-статистика для однофакторного дисперсионного анализа представляет собой отношение значений вариации из двух источников: межгрупповую вариацию делят на внутригрупповую. Можно считать, что F-статистика показывает, во сколько раз выборочные средние более изменчивы по сравнению с тем, что можно было бы ожидать, если бы расхождение было случайным. Для выполнения F- теста необходимо вычислить F-статистику и сравнить полученное значение с табличным. Это требует некоторых дополнительных вычислений.

Поскольку нулевая гипотеза утверждает, что средние всех генеральных сово­купностей равны, необходимо оценить это среднее значение, которое объединяет всю информацию о выборках. Общее (главное) среднее представляет собой среднее всех значений из всех выборок. Его можно также рассматривать как взвешенное среднее выборочных средних, где большие выборки имеют больший вес.

Общий объем выборки, n, и общее среднее,

n = n₁ + n₂ + +n_к = n_i

=

В примере о качестве продукции поставщиков общий объем выборки и общее среднее вычисляются следующим образом:

n = 18 + 21 + 19 = 58;

= ((18 * 82,055556) + (21 * 80,666667) + (19 * 87,684211)) / 58 =83,4

Межгрупповая вариация показывает, насколько различаются выборочные средние. Она равна нулю, если средние равны, и тем больше, чем сильнее различаются средние. Межгрупповая вариация представляет основу меры вариации выборочных средних. Соответствующая формула приведена ниже.

Date: 2016-05-14; view: 666; Нарушение авторских прав