Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Эквивалентность матрицМатрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T, что A = QBT. Теорема 6.1. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны. Доказательство. Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение. Теорема 6.2. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где - единичная матрица порядка k, а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров. Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках. 1. Положим r =1. 2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3. 3. Сделаем преобразования со строками , где i = r +1,…, m, и со столбцами , где j = r +1,…, n, и . Увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2. 4. Если , при i = r +1,…, m, j = r +1,…, n, то конец. В противном случае найдем i, j > r, что . Переставим строки и столбцы , вернемся на шаг 2. Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид. Теорема 6.3. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны. Доказательство. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.1). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что , где r = rgA = rgB (Теорема 6.2). Следовательно, , и матрицы A и B – эквивалентны. Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.
|