Алгебра линейных преобразований

На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:

1. Умножение на число: .

2. Сложение (вычитание)

3. Умножение .

Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы

1.

2.

3.

Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.

Пусть - некоторый многочлен, - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле .

Свойство 7.1. Пусть . Тогда .

Инвариантные пространства

Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ также принадлежит W.

Свойство 7.2. - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть . Тогда .

Свойство 7.3. - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть , тогда .

Свойство 7.4. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть .

Свойство 7.5. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , тогда . Далее, , то есть .

Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n - k)* k, состоящий из одних нулей.

Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.

Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.