Синтез управления для линеаризованной системы с учетом внешних неопределенных ограниченных возмущений

Для решения задачи оптимизации при каждом фиксированном значении параметра q из заданного диапазона (задачи полуопределенного программирования) используется программное обеспечение CVX. Текст программы для перебора с заданным шагом изменения параметра q и синтеза регулятора из условия нахождения минимального по критерию следа ограничивающего предельного эллипсоида для вектора выхода представлен ниже.

%-----модель математического маятника -------

% Примеры синтеза оценивания состояния и моделирования

%--Исходные данные --Линеаризованная модель с неопределенными возмущениями

% вектор состояния x=(x1,x2)T

n=2;

m=1;

l=0.5;

Ip=0.05;

g=9.8;

mlp=m*l*l+Ip;

mgl=m*l*g;

Ri = 2.6;

kg =3.7;

KM=0.00767*100;

bet=kg*KM;

btet=0.025;

tet0=5*pi/9;

cs0=cos(tet0);

V0=mgl*sin(tet0)*Ri/bet;

n1=n;

betR=bet/Ri;

btetbR=btet+bet*betR;

A = [0 1; -mgl*cs0/mlp -btetbR/mlp];

B1 = [0; bet/Ri/mlp];

D=[0; -1/mlp]/20;

C=[1 0;0 1;0 0];

Cy=[1 0];

B2=[0; 0;1];

n1=n;

mu1=1;

q0

step = 0.1;

begin_val =0;%0.1;%

end_val = 2;%

min_tr_Z = 1000000;

figure (1)

% Оптимизация по параметру q путем перебора с уменьшающимся шагом

while step>0.001

for q = begin_val:step:end_val

cvx_begin sdp

variable Qs(n1, n1) symmetric;

variable Zs(1,1) symmetric;

variable Ys(1, n1);

variable bet;

minimize(trace(C*Qs*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2'))

%minimize(trace(Qs))

subject to

Qs >= eye(2)*1e-5;

[A*Qs + Qs*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+q*Qs D;

D' -q*eye(1)]< 0; %условие асимптотич устойчивости

[Zs Ys;

Ys' Qs]>=0;

cvx_end

Qsf = double(Qs)

Y=double(Ys)

K=Y/Qsf

Z=double(Zs);

trZ=trace(C*Qsf*C'+C*Y'*B2'+B2*Y*C'+B2*Z*B2');

if min_tr_Z > trZ

min_tr_Z = trZ

Q_min = Qsf;

K_min=K;

q_min = q

end;

end;

step = step*0.5;

begin_val = q_min-2*step;

end_val = q_min+2*step;

end;

Q1=Q_min

K1=K_min

q1=q_min

Q0=[0.0037 -0.0019; -0.0019 0.0056];

%eig(A)

A1=A+B1*K1;

% Оценивание состояния маятника с неопределенными возмущениями с помощью

% матричной системы сравнения

t0=0; tk=10;

Q=[1 0; 0 1];

vec_Q = [Q(:,1); Q(:,2)];

[t,H] =ode15s(@(t,vec_Q) Prav_Lin_Mayat_1(t,vec_Q,A1,D,q1),[t0 tk],vec_Q);

MQ = [];

nh=length(H(:,1));

t(nh)

nn=1;%round(nh/20);

figure(1)

for i = 1:nn:nh

MQ = [H(i,1) H(i,2); H(i,3) H(i,4)];

MQ=(MQ+MQ')/2;

krug(MQ,0,'g');

hold on;

end;

krug(Q1,0,'r--');

figure(2)

krug(Q0,0,'k--'); hold on;

krug(Q1,0,'r--');

Для рассматриваемой системы с теми же значениями параметров была найдена матрица

минимального инвариантного эллипса и соответствующий регулятор с постоянными коэффициентами K=[-8.5069 -0.9376] при q0=2.1969. На рисунке 1.3 показаны найденные минимальные инвариантные эллипсы для линеаризованной системы с модальным регулятором (штриховая линия) и системы с регулятором, полученным в результате решения задачи оптимизации с ЛМН (сплошная линия). Из рисунка видно, что регулятор, синтезированный для линеаризованной системы с неопределенными ограниченными возмущениями значительно эффективнее подавляет внешние неопределенные возмущения, чем модальный регулятор.

На рисунке 1.4 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипса для системы с регулятором K, полученные в результате численного интегрирования МСС с начальной матрицей Q=[1 0; 0 1]. Решение сошлось за t<20c к минимальному предельному инвариантному эллипсу с матрицей Q1*.