Введение в основные типы уравнений в частных производных II степени

Метод разделения переменных Фурье

Введение в основные типы уравнений в частных производных II степени.

Многочисленные задачи математической физики, включая задачи механики, теплофизики, электродинамики описываются уравнениями в частных производных II степени. К некоторым, наиболее распространенным основным уравнениями с ч.п. II степени относятся:

а) уравнение Лапласа (в трехмерном случае) или (здесь - неизвестная функция, и т.д. - сокращенные обозначения частных производных) рассматривается в задаче со стационарным распределением температуры или электрического потенциала внутри пространственной области.

б) волновое уравнение (здесь , - время, - параметр) рассматривается в задаче распространения механических или электромагнитных колебаний в среде.

в) уравнение теплопроводности рассматривается в задаче распространения тепла.

Отметим, что данные уравнения также рассматриваются в задачах для двух- и одномерного пространства. Так отдельно выделяется класс линейных уравнений в частных производных II степени относительно функции двух переменных. Общий вид данных уравнений:

где - функции независимых переменных , - неизвестная функция, , и т.д. – сокращенные обозначения частных производных.

Все уравнения данного класса, в зависимости от знака дискриминанта можно разделить на три основных типа:

а) уравнения эллиптического типа () – описывают стационарные процессы, т.е. процессы не изменяющиеся по времени, пример - уравнение Лапласа для двумерной поверхности (мембрана, круг и т.д.)

б) уравнения гиперболического типа () – описывают процессы распространения волн, пример - волновое уравнение в задаче колебания струны.

в) уравнения параболического типа () – описывают процессы распространения тепла, пример - уравнение теплопроводности в задаче нагрева/охлаждения стержня.