Логико-математический анализ математических утверждений

и общие приемы работы с теоремой»

№ УЭ	Содержание учебного элемента	Управление обучением
	Цель модуля – 1. Раскрыть общий прием выполнения логико–математического анализа конкретных утверждений. 2. Раскрыть этапы изучения конкретной теоремы.   В результате изучения модуля Вы будете знать: - логико-математический и дидактический анализ теоремы; - логические основы доказательства; - уровни обучения доказательству; - общие и специальные методы доказательства. уметь: - создавать положительную мотивацию изучения теоремы; - осуществлять логико-математический и дидактический анализ теоремы; - определять уровень логической строгости изучения теоремы (доказательства и методов дока­зательства); - выяснять, какие утверждения доказываются, какие вводятся как иллюстративные факты; - выделять задачи, способствующие раскрытию, конкретизации и углублению теоремы; - выделять задачи на осуществление поиска доказательства теоремы; д) отбирать задачи, демонстрирующие приложения изучаемых Теорем в ранее изученных темах математики и других дисциплинах.   Структура модуля: УЭ 1. Логико-математический и дидактический анализ теоремы. УЭ 2. Общие приемы работы с теоремой. УЭ 3. Обучение доказательству. УЭ 4. Общие методы доказательства. УЭ 5. Специальные методы доказательства   Вопросы и задания для предварительного обсуждения 1. В чем сущность теоремы? Каковы виды теорем? Какова взаимо­связь между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами? 2. Раскройте содержание этапов изучения теоремы. 3. Выберите из школьных учебников алгебры и геометрии несколько теорем и разработайте методику ознакомления школьников с ними. Соотнесите ее с рекомендациями авторов учебников. 4. Проиллюстрируйте известные вам способы введения теоремы конкретными примерами из школьных учебников. 5. Раскройте содержание концепции обучения доказательству. 6. Используя различные учебные пособия по методике преподавания математики, выделите рекомендации по формированию у школьников потребности в логических обоснованиях.	Повторите учебный материал по теме, используя литературу и конспект лекций: [1, 4, 5, 8, 12, 16].
	Логико-математический и дидактический анализ теоремы Теоретическая часть Логико-математический анализ структуры теоремы предпо­лагает: 1. Анализ формулировки: а) установление формы формулировки; б) выделение разъяснительной части, условия и заключения утверждения; в) установление того, является данное утверждение простым или сложным; г) выяснение возможности переформулировки сложной теоремы в виде двух простых. 2. Выяснение логического смысла теоремы: существование, свойство, признак (критерий) понятия. 3. Формулировка обратного (противоположного) предложения и установление его истинности. 4. Анализ доказательства: выяснение идеи, метода, приема доказательства, установление их новизны для учащихся, отыскание других приемов доказательства. 5. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев. 6. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роли в построении курса. Дидактический анализ: 7. Выявление опорного материала и установление необходимости его повторения; методика организации повторения. 8. Установление необходимости мотивации изучаемой теоремы и подбор для нее соответствующего материала. 9. Возможность создания проблемной ситуации; выбор способа (пути) создания проблемной ситуации. 10. Установление наличия у школьников базы знаний (в том числе познавательных средств) для участия в разрешении проблемы с соответствующим уровнем самостоятельности. 11. Выбор гипотетико-дедуктивных методов, способов получения новых знаний: «открытие» теоремы; поиск доказательства; доказательство. 12. Установление возможности изучения обратной (противоположной) теоремы. Формулировка критерия понятия, переформулировка его определения. 13. Выбор формы записи доказательства, а также установление необходимости записи доказательства. 14. Установление возможности обучения новому методу доказательства. 15. Подбор системы упражнений для этапа "осознание, осмысление, применение".	[14, 16].
	Практическая часть Задание 1. Выполните ло­гико-математический анализ следующего утверждения: (Теорема о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Задание 2. Может ли сложная теорема иметь одновременно несколько условий и несколько заключений? Из школьного учеб­ника геометрии приведите пример такой теоремы. Задание 3. Для теорем а) и б) сформулируйте обратную, противоположную, обратную противоположной теоремы: а) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Б) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Укажите, какие из этих теорем верны, а какие неверны. Ответ обоснуйте. Задание 4. На основании рассмотренных примеров сделайте вывод о взаимосвязи между прямым, обратным, противоположным и обратным противоположному утверждениями. Какие из них являются равносильными теоремами? Задание 5. Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны. Сформулируйте обратное утверждение. Истинно ли это утверждение? В случае положительного ответа докажите утверждение.	Оформите задание письменно.   Совместное обсуждение с преподавателем.
	Общие приемы работы с теоремой При индуктивном введении теоремы можно выделить следующие этапы ееизучения: Этапы работы с теоремой Упражнения, реализующие их 1. Мотивация изучения теоремы     1. Упражнения на измерение величин, на оперирование моделями фигур. 2. Упражнения с практическим содержанием. 3. Упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий.   2. Ознакомление с теоремой   3. Усвоение содержания теоремы     1. Упражнения на выделение условия и заключения теоремы. 2. Упражнения на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме. 3. Упражнения на выполнение чертежей, моделирующих условие теоремы. 4. Запоминание формулировки теоремы 5. Ознакомление со способом доказательства Упражнения на ознакомление с методом доказательства теоремы.   6. Доказательство теоремы 1. Упражнения, моделирующие способ доказательства. 2. Упражнения на выделение в доказательстве недостающих утверждений и их обоснований.   7. Применение теоремы     1. Упражнения на систематизацию теорем. 2. Упражнения на составление «родословной» теоремы. 3. Упражнения на составление плана доказательства теоремы. 4. Упражнения на составление алгоритмов. 8. Установление связей теоремы с теоремами, изученными ранее
	Задание 6. Используя таблицу, фиксирующую соотношение между этапами работы с теоремой и упражнениями, реализующими их, проследите по учебникам алгебры и геометрии, насколько она реализуема в них. Для мотивирования необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы: Прием 1. Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык. Прием 2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач. Задание 7. Подберите подходящую практическую задачу для мотивации изучения теоремы: Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам друго­го треугольника, то такие треугольники равны. Прием 3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем. Прием 4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки. Задание 8. Подберите пример, где бы использовался этот прием мотивации изучения теорем. Перечисленные выше приемы для мотивации изу­чения теорем служат одновременно и раскрытию содержания теоре­мы. Из других приемов раскрытия содержания теорем можно наз­вать: – наблюдение наглядного материала, в том числе подвижных моделей или ряда чертежей; – выполнение построений; – решение задач на вычисление и доказательство; – выполнение лабораторных или практических работ; – решение задач на отыскание некоторых зависимостей. Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и после ее доказательства. Этому способствуют задания следующих видов: 1. Сформулируйте теорему. 2. Выделите условие, выделите заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема? 3. Сформулируйте теорему со словами: “Если…, то…”. (Если теорема сформулирована в категорической форме.) 4. Сформулируйте предложение, обратное (противоположное и т.д.) сформулированному. 5. Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов. 6. Составьте план доказательства. 7. Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве. 8. Докажите теорему другим способом. 9. Решите задачи на применение теоремы. При этом предлагаются задачи на применение только что изу­ченной теоремы: задачи на распознавание фигур или взаимного положения элементов фигур на чертежах, к которым можно при­менить теорему, причем решение задачи в этом случае до конца можно и не доводить; задачи, для решения которых использует­ся изученная теорема наряду с другими, ранее изученными. Задание 9. Проследите выделенные этапы работы над теоремой на примере теоремы: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основа­нию, является биссектрисой и высотой. Задание 10. Подберите систему упражнений, реализующих этапы работы с теоремой: Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке S, то AS×BS = CS×DS.	Продемонстрируйте на конкретной теореме из школьного учебника.     Задание оформите письменно.   Укажите, какие упражнения выбраны из учебника, а какие составлены самостоятельно
	Обучения доказательству Под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых до­казательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опро­вержению предложенных доказательств. I уровень. Формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получать новые предложения. II уровень. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять эвристические приемы. III уровень. Обучение анализу доказательства: выделению логиче­ских, шагов, поиску и устранению логических пробелов, развер­тыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, вы­делению идеи доказательства и его воспроизведению, примене­нию эвристических приемов. IV уровень. Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство. V уровень. Обучение умению опровергать предложенные доказательст­ва. Вопросы для самостоятельной работы 1. Используя различные учебные пособия по методике преподавания математики, выделите рекомендации по формированию у школьников потребности в логических обоснованиях. 2. Проследите по школьным учебникам математики решение проблемы формирования потребности доказывать. С помощью каких средств она решается авторами учебников? 3. Большое внимание уделяют использованию «визуальных» доказательств. В чем, по Вашему мнению, причина такого феномена. Подберите несколько задач, решение которых осуществляется на визуальной основе. 4. Выберите какую-либо теорему и выделите в ее доказательстве логические шаги, его составляющие. Назовите эвристики, использование которых приводит к анализируемому Вами доказательству. Выде­лите идею доказательства. 5. Составьте упражнения, ориентированные на усвоение действий: а) выведения следствий; б) переформулировки требования зада­чи; в) составления вспомогательных задач. 6. Запишите доказательство любой теоремы в виде таблицы с двумя колонками: а) утверждения; б) обоснования. На основе этой таблицы составьте несколько вариантов карточек для индивидуальной работы школьников. 7. Обоснуйте необходимость использования такого этапа в обуче­нии доказательству, как опровержение предложенных обоснований. Выделите приемы, характерные для реализации этого этапа.	[14]   [14]   [3, 4, 5, 6, 7, 11, 14, 15]   Ответы на вопросы 4, 5 и 6 дайте в письменной форме
	Общие методы доказательства Синтетический метод. Синтетическое доказательство (решение) состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим вы­водом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получают как следствия из первых и т. д. Синтетическое доказательство математического предложения осуществляется по схеме , где Т – определенная совокупность предложений математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат составляющих доказательство, а также суждения А (х) и В (х). Например, в синтетическом методе решения геометрических задач можно условно выделить: а) непосредственное синтетическое решение несложных геометрических задач; б) запись в виде синтетического решения более сложных задач, где появление вспомогательных суждений часто связано с использованием нестандартных математических идей – ана­лиза. Задание 11.Используя синтетический метод, решите задачу: Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Синтетический метод является одной из существенных составных частей дедуктив­ного метода. В преподавании математики синтетический метод занимает важное место. Обучение целесообразно вести так, чтобы учащиеся не только практически научи­лись пользоваться синтетическим методом, но поняли его сущ­ность и особенности. Синтетическое изложение до­казательств отличается исчерпывающей полнотой, сжатостью и краткостью. Однако вести все преподавание математики в таком стиле малоэффективно. Это связано в первую очередь с тем, что для начинающих изучать математику синте­тические доказательства кажутся искусственными и непонят­ными. Невозможность мотивировать вспомогательные построе­ния, дать предварительно обоснованный план доказательства - таковы причины этой искусственности. К явным трудностям применения синтетического метода решения за­дач можно отнести: а) отсутствие рассуждений, на основании которых определяется план решения задачи; б) отсутствие ар­гументации; в) трудность выбора нужных исходных данных и тех следствий из них, ко­торые ведут к цели. Выводы: 1. Работа с учащимися по формированию приема мыслительной деятельности «синтез» приводит к тому, что получение вспомогательных суждений становится для учащих­ся естественным и привычным. Умение делать выводы является одной из важных задач обучения мате­матике. 2. Синтетический метод рассуждения имеет большое общеобразовательное значение, и поэтому знакомить учащихся с этим методом целесообразно и даже необходимо. 3. Решение проблем, связанных с затруднением учащихся использовать синтетический метод, заключается в формировании приемов аналитико-синтетической деятельности, которую следует счи­тать основополагающей. Вместе с тем, овладеть сущностью аналитико-синтетической деятельности не­возможно, не познав и не поняв сущности дифференциации обучения вообще и дифференциации формирования приемов математической деятельности в частности. Аналитические методы. Сущность этих методов состоит в том, что исходным пунктом обосно­вания требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверж­дению, известному как истинное. Восходящий анализ. Исходным моментом решения задачи является ее заключение, преобразование которого про­исходит путем отыскания достаточных признаков его справед­ливости. Сущность метода восходящего анализа определяет следую­щее рассуждение: для того чтобы В было верно, достаточно, чтобы было верно А. Отталкиваясь от заключения В (х), подбирают для него достаточное условие – такое суждение что затем подбирают достаточное условие для такое, чтобы было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие для что и выполняется (истинно). При этом используется как условие А (х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А (х) и В (х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена. Задание 12.Решите задачу: Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. 1) Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, достаточно доказать, что ABCD параллелограмм. 2) Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, достаточно доказать параллельность двух противоположных сторон. 3) Для того чтобы доказать параллельность сторон АВ и СD, достаточно доказать равенство углов ABD и CDB. 4) Так как в данном четырехугольнике все стороны равны, то треугольники ABD и CDB являются равнобедренными, откуда следует, что они равны. Теперь, идя обратным путем, от пункта 4) к пункту 1), докажем данное утверждение. С педагогической точки зрения рассматриваемая форма доказательства имеет положительные качества: есть отправное звено, с которого начинается рассуждение – доказываемое равенство, дополнительные построения мотивированы и не ка­жутся искусственными, учащиеся ясно осознают на каждом этапе решения поставленную цель. Восходящий анализ содержит в себе синтез: подбор целесообразного основания для доказываемого пред­ложения и подбор достаточных оснований на каждом последу­ющем этапе рассуждения являются и аналитическими, и син­тетическими процессами. Этот процесс по сути аналитический, так как из многих возможных оснований выбирается одно, но он и синтетический, так как устанавливает логическую связь между основанием и следствием. Восходящий анализ представляет значительный интерес для решения проблем поиска решения: он содержит в себе страте­гию построения доказательства (решения), подсказывает пути творческого поиска путей обоснований. Однако восходящий анализ не является универсальным и имеет свои слабые сторо­ны. Например, для дока­зательства истинности того или иного утверждения может быть не одно основание, а несколько. Это приводит ученика к необхо­димости рассматривать несколько различных вариантов рас­суждений, некоторые из которых могут поставить его в тупик. Основная трудность для учащихся состоит в умении увидеть эти различные основания и научиться их сравнивать. Нисходящий анализ имеет две разновидности: несовер­шенный анализ и метод доказательства от противного. При решении задач методом несовершенного анализа за ис­ходное берется заключение задачи. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых условий справед­ливости его в предположении, что заключение задачи (теоре­мы) верно, т. е. несовершенный анализ сводится к отысканию следствий, вытекающих из предположения справедливости заключения: где есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. Метод несовершенного анализа может подсказать план синтетического доказательства. Если все рассуждение удастся обратить, то это обращенное рассуждение и будет синтетическим решением задачи. Задание 13.Решите задачу: Докажите, что для любых действительных чисел а и b справедливо неравенство	[9, 10, 12, 16]   В решении выделите основания синтетического решения. На каких этапах применялся анализ?   Найдите подтверждение выводов в учебных пособиях по методике преподавания математики   Дайте развернутое доказательство приведенного утверждения.   Приведите другие примеры задач, при решении которых может быть использован нисходящий анализ.
	Специальные методы доказательства Прием аналогии является эффективным методом в открытии фак­тов, самостоятельном построении доказательства и поиске его способа является аналогия. Под аналогией понимают сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по анало­гии – это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет еще один признак X, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, облада­ющего, кроме того, и признаком X. В качестве предметов могут выступать объекты, явления, процессы и т. д. Говоря о применении аналогии в обучении математике, обыч­но подчеркивают аналогию: 1) в изучении десятичных дробей и натуральных чисел; 2) между свойствами алгебраических дробей и обыкновенных дробей; 3) между свойствами геометрической и арифметической прогрессий; 4) в изучении свойств фигур на плоскости и свойств фигур в пространстве, например в изучении треугольника и тетраэдра и т. п. Между тем такое представление о роли аналогии в обучении математике сильно ограничивает ее возможности, особенно при­менение аналогии в контексте обучения школьников доказатель­ству. Например, решение одной задачи (доказательство теоремы) может быть использовано в решении другой задачи (доказательстве теоремы), аналогичной первой, т. е. имеющей с первой сходные условия или заключения. Для этого каждый шаг решения одной задачи «переносится» на решение другой, т. е. конструируется по аналогии с каждым шагом решения одной задачи каждый шаг решения другой, ей аналогичной. Таким образом, аналогия способствует не только открытию свойств и признаков изучаемых объектов, она являет­ся инструментом поиска способа доказательства и его реали­зации. Аналогия в решении задач должна подчеркиваться и демонстрироваться. Решив одну из двух аналогичных задач, следует постепенно переносить каждый шаг решения одной за­дачи на решение другой, при этом естественно заменяя объекты и отношения между ними на аналоги этих объектов и отношений между последними. Приемы обобщения и конкретизации. Эффективным приемом открытия закономерностей, поиска доказательства теоремы или способа решения задачи является использование обобщения или конкретизации. Обобщение как форма перехода от частного к общему имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов. Использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра либо на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Нахождению способа решения задачи иногда, наоборот, по­могает рассмотрение более частного случая. Задание 14.Решите задачу: Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки равны. Указание. Решение задачи значительно упрощается, если заданная пара взаимно перпендикулярных прямых проходит через центр квадрата. Поворот вокруг центра квадрата на 90° пере­ведет квадрат в себя, при этом одна из указанных прямых пе­рейдет в другую. Эта мысль может быть использована при реше­нии основной задачи. Прием рассмотрения предельного случая. Использование этого приема оказывается полезным при по­иске закономерности, способа доказательства, оценке готового результата и построении опровержения предложенного обосно­вания. Метод геометрических преобразований. Использование геометрических преобразований в школьном курсе геометрии имеет большое методическое значение. Методы симметрии, поворота, параллельного переноса, гомотетиипозво­ляют решать значительный класс задач на доказательство, по­строение и вычисление. Действующая программа по геометрии предусматривает знакомство с отдельными видами движений (осевой симметрией, центральной симметрией, поворотом вокруг точки, параллель­ным переносом) и подобием. Анализ решений задач методами симметрии, поворота, парал­лельного переноса и гомотетии позволяет выделить требования, которые предъявляют эти методы к мышлению решающего. Уча­щиеся должны уметь: – строить фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии, повороте, параллельном переносе и гомотетии; – выделять соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; – выделять элементы, определяющие преобразование: строить ось симметрии, центр поворота, определять угол поворота, на­правление параллельного переноса, его расстояние, находить центр гомотетии, вычислять его коэффициент; – строить соответственные при указанном преобразовании точ­ки на заданных произвольных фигурах; – использовать специфические свойства преобразований. Формирование указанных умений должно быть предметом специального обучения, оно осуществляется в процессе выполне­ния упражнений. Возможные рекоменда­ции относительно применения частных видов геометрических преобразований: - доказать некоторое соотношение в равнобедренном треуголь­нике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе удается часто с помощью осевой симметрии; - использование поворота эф­фективно при установлении зависимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, при доказательстве перпендикуляр­ности прямых; - метод параллельного переноса дает желаемый результат при доказательстве различных соотношений в па­раллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур; - преобразование гомотетии эффективно, если рассматриваются два параллельных отрезка разной длины, отрезок, разделен­ный в данном отношении, две окружности различной длины ра­диусов. Задача 7. Дана трапеция Доказать, что середины оснований трапеции и точка пересечения диагоналей трапеции принадлежат одной прямой. Продолжим боковые стороны до пересечения в точке Рассмотрим гомотетию с центром в точке При этой гомотетии отрезок перейдет в отрезок Естественно, никакие критерии не сообщаются ученику в гото­вом виде, а учащиеся овладевают ими в ходе работы. Векторный метод является одним из важнейших математиче­ских методов. Он эффективен при: а) доказательстве параллель­ности прямых и отрезков; б) обосновании утверждения о делении отрезка данной точкой в указанном отношении; в) выяснении принадлежности трех точек одной прямой; г) доказательстве перпендикулярности прямых и отрезков; д) доказательстве зави­симостей между длинами отрезков; е) нахождении величины угла. Умение применять векторы в различных конкретных ситуа­циях предполагает умения: – переводить геометрический язык на векторный и обратно (осуществлять переход от соотношения между фигурами к соот­ношению между векторами и обратно); – выполнять операции с векторами (находить сумму, разность векторов, произведение вектора на число, скалярное произведе­ние векторов); – представлять вектор в виде суммы векторов, разности век­торов; – представлять вектор в виде произведения вектора на число; – преобразовывать векторные равенства; – переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот; – выражать длину вектора через его скалярный квадрат; – выражать величину угла между векторами через их скаляр­ное произведение. Перечисленные действия и их совокупности формируются в процессе выполнения специальных упражнений. Применять векторный метод в конкретных ситуациях следует начинать с решения задач, условия которых наводят на метод решения. Это, прежде всего, задачи на доказательство парал­лельности прямых, отрезков; принадлежности трех точек одной прямой; факта, что данная точка делит данный отрезок в данном отношении; перпендикулярности прямых и отрезков; соотноше­ний между длинами отрезков, величин углов. Задача 9. Докажите, что если в четырехугольнике суммы квадратов противолежащих сторон равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Координатный метод. Использование координатного методав конкретных ситуа­циях, так же как и векторного, предполагает обычно выполнение трех этапов: 1) перевод задачи на координатный язык; 2) преоб­разование аналитического выражения; 3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык задачи. Применение координатного метода в алгебре связано с осуществлением пере­вода аналитических соотношений, т. е. языка уравнений и неравенств, в геометрические. Например, требование решить си­стему уравнений на геометрическом языке означает требование найти координа­ты точек пересечения фигур, заданных уравнениями окружности и параболы. Координатный метод в геометрии особенно эффективен при обосновании зависимостей между элементами фигур, в частно­сти между длинами, а также при нахождении множества точек, удовлетворяющих определенным условиям. Примером ситуации первого вида является следующая задача: Компонентами умения применять координатный метод в конк­ретных ситуациях являются следующие умения: – переводить геометрический язык на язык координат и об­ратно; – строить точку по заданным координатам; – находить координаты заданных точек; – вычислять расстояние между точками, заданными координа­тами; – оптимально выбирать систему координат; – составлять уравнения заданных фигур; – видеть за уравнением конкретный геометрический образ; – выполнять преобразования алгебраических выражений. Задача 10. Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.	Приведите подробное решение задачи (оформите письменно).

Литература

1. Болтянский В. Г. Как устроена теорема? // Математика в школе. – 1973. – № 1. – С. 41.

2. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях.– М.: Учпедгиз, 1959.

3. Бреслер Г. Р. Об обучении доказательству в IV классе//Математика в школе. – 1974. – № 5. – С. 34.

4. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

5. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

6. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М.: Наука, 1969.

7. Лакатос И. Доказательства и опровержения. – М.: Наука, 1967.

8. Метельский Н. В. Дидактика математики. – Минск: Изд-во БГУ, 1982.

9. Методика преподавания математики в средней школе: Общая ме­тодика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1980.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.

11. Пойа Д. Математическое открытие (Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание): Пер. с англ. – М.: Наука, 1970.

12. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. – М.: Учпедгиз, 1958.

13. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение, 1995.

14. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. – М.: Просвещение, 2000.

15. Слепкань 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. – Киев: Рад. школа, 1983.

16. Столяр А. А. Педагогика математики: Курс лекций. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Высшая школа, 1974.

17. Финкелынтейн В. М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы // Математика в школе. – 1996. – № 6. – С. 21.

18. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. – М.: Просвещение, 1978.