Решение. 1) Обозначим события: Аі - студент сдаст і - й экзамен ( і = 1,2,3); В студент сдаст только 2-й экзамен из трех

1) Обозначим события: А_і - студент сдаст і - й экзамен (і = 1,2,3); В студент сдаст только 2-й экзамен из трех. Очевидно, что В = Ā₁А₂Ā₃, т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события А_1,А_2,А₃ независимы, получим

2) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только2-й, или только 3-й, т.е.

3) Пусть событие Е – студент сдаст, по крайней мере, два экзамена. Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.

Е = А₁А₂Ā₃ + А₁Ā₂А₃ + Ā₁А₂А₃ + А₁А₂А₃ и

4) Пусть событие F - студент сдал хотя бы один экзамен. Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего в себя триварианта) и Е(четыре варианта), т.е. F = A₁+A₂+A₃ = C +E(семь вариантов). Проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант. т.е.

т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

4. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Во многих прикладных задачах приходится рассматривать тот или иной процесс, который может пройти по одному из нескольких возможных вариантов, причем мы не знаем, по какому именно (т. е. процесс может «разветвляться» случайным образом). В таких ситуациях возникают две различные постановки задачи:

1) найти вероятность того, что в результате такого «ветвящегося» процесса произошло некоторое событие А;

2) зная, что в результате процесса произошло событие А, оценить, по какому из возможных вариантов развивался процесс.

Решение этих двух типов задач возможно в первом случае с помощью формулы полной вероятности, в другом – формулы Байеса.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий (гипотез) А₁, А₂, …,А_n, образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

где Р (А_i) – вероятность события А_i; – условная вероятность события В.

Пример 7. Два станка производят детали, поступающие на общий конвейер. Вероятность получения стандартной детали на первом станке равна 0,9, на втором – 0,85. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Вычислить вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартная.

Решение. А – «наудачу взята с конвейера деталь стандартная»,

В₁ – «взятая деталь изготовлена на первом станке»,

В₂ – «взятая деталь изготовлена на втором станке».

Очевидно, что , , , . Согласно формуле полной вероятности, .

ФОРМУЛА БАЙЕСА. Используя формулу полной вероятности, можно вычислить для любого i, . Действительно, . Подставляя в эту формулу значения из формулы полной вероятности и учитывая, что , получаем

– данная формула называется формулой Байеса.

В более краткой формеформулу Байеса можно записать так:

Пример 8. В первой урне содержится 6 белых и 4 черных шариков, во второй – 7 белых и 3 черных, в третьей – только 8 белых. Наугад выбираем одну из трех урн, из нее наугад вынимаем шарик. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что шарик вынут из второй урны?

Решение. Пусть А – «выбран белый шарик»,

В₁ – «наугад выбрана первая урна»,

В₂ – «выбрана вторая урна»,

В₃ – «выбрана третья урна»

Ясно, что , ,

.

Согласно формуле Байеса, искомая вероятность равна

.

Пример 9. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаев. 1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение.

1) Обозначим события:

А_i – «телевизор поступил в торговую фирму от i- го поставщика (i = 1,2,3)»;

В – «телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока».

По условию Р(А₁) = ; Р(В/А₁) = 0,98;

;