Теоретические сведения

ЗАНЯТИЕ № 11

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теоретические сведения

1. Суммой (объединением) событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из двух событий А или В. Сумма событий обозначается так: С = А + В.

Теоремы о сумме событий. Два события А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если их произведение пусто, т. е. они не могут наступить одновременно ни при одном исходе эксперимента.

ТЕОРЕМА (О СУММЕ ПОПАРНО НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ).Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

.

Пример 1. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 25 рублей?

Решение. Пусть событие А – «человек выиграл не менее 25 рублей»,

событие А₁ – «выигрыш составил 200 рублей»,

событие А ₂ – «выигрыш составил 100 рублей»,

событие А₃ – «выигрыш составил 25 рублей».

Поскольку куплен один билет, то , причем события попарно несовместные (любые два события не могут произойти одновременно). Следовательно,

.

ТЕОРЕМА (О СУММЕ ЛЮБЫХ ДВУХ СОБЫТИЙ). Вероятность суммы любых двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Пример 2. Бросили две игральные кости. Вычислим вероятность выпадения хотя бы одной шестерки.

Решение. Пусть А – «выпадение шестерки на первой кости», событие В – «выпадение шестерки на второй кости». Необходимо вычислить вероятность события А + В.

,

.

2. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события А и В. Произведение событий обозначается так: С = А ∙ В.

Теоремы о произведении событий.

Два события считаются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от наступления или ненаступления второго.

ТЕОРЕМА (О ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ СОБЫТИЙ). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Пример 3. Из колоды в 36 карт наугад вынимаем 2 карты. Вычислите вероятность того, что: а) вынуты две дамы; б) вынуты дама и валет.

Решение. Пусть А – «первая вынутая карта – дама»,

В – «вторая вынутая карта – дама»,

С – «вторая вынутая карта – валет».

Мы хотим вычислить и . Поскольку в колоде 4 дамы, то . Если одна дама из колоды уже вынута, то вероятность того, что вторая вынутая карта тоже дама, равна .

Вероятность того, что вторая вынутая карта – валет, равна .

Согласно теореме для зависимых событий , а .

ТЕОРЕМА (О ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ). Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Пример 4. Каждый из двух охотников попадает в цель с вероятностью 0,4. Они одновременно выстрелили в одного и того же вальдшнепа. С какой вероятностью вальдшнеп уцелеет?

Решение. Чтобы вальдшнеп уцелел, должны одновременно произойти два события: А₁ – «первый охотник промахнулся» и А₂ – «второй охотник промахнулся». Поскольку охотники стреляют по вальдшнепу независимо друг от друга, воспользуемся формулой умножения вероятностей для независимых событий: Р(А₁ · А₂) = Р(А₁) · Р(А₂) = 0,6 · 0,6 = 0,36.

3. Приведем формулу, которая позволит находить вероятность суммы независимых событий. Пусть события А иВ независимы. Тогда

Зам. Формула легко обобщается на случай произвольного числа независимых событий:

.

Пример 5. Билет лотереи «Спринт» выигрывает с вероятностью 0,3. Коля купил сразу три таких билета. Какова вероятность, что хотя бы один из них выиграет?

Обозначим через А₁, А₂, А₃ события «выиграет 1-й билет», «выиграет 2-й билет» и «выиграет 3-й билет». В задаче нужно найти вероятность их объединения. События можно считать независимыми, поэтому

= 1-0,7 0,7 0,7 = 1 - 0,343 = 0,657.