Задание на работу

Для заданной пологой оболочки требуется:

1. Разложить действующую на оболочку поперечную нагрузку в двойной ряд по синусам и оформить матрицу коэффициентов ряда разложения .

2. Определить коэффициенты разложения в двойной ряд по синусам функций прогиба и усилий . При этом с помощью ручного счета требуется найти один ненулевой коэффициент .

3. Подготовить исходную информацию для определения остальных коэффициентов ряда разложения и на ПЭВМ.

4. С использованием ПЭВМ построить эпюры прогиба , а также силовых факторов в заданных сечениях оболочки.

5. Определить величину допускаемой нагрузки на оболочку.

6. Определить толщину контурной диафрагмы оболочки.

При выполнении работы используется микрокалькулятор любого типа, ПЭВМ с наличием алгоритмического языка Paskal 7.0 и приводимая в методических указаниях программа на языке Paskal 7.0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ В ДВОЙНОЙ РЯД ПО СИНУСАМ ФУНКЦИЙ ПРОГИБА , УСИЛИЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Основные дифференциальные уравнения изгиба пологих оболочек имеют следующий вид [I]:

(2)

где – прогиб оболочки, - функция усилий, Е – модуль упругости материала, - цилиндрическая жесткость изгиба, - коэффициент Пуассона материала оболочки, - бигармонический оператор, - оператор В.З.Власова:

(3)

Здесь и – главные кривизны оболочки, формулы для которых

(4)

В соответствии с порядком системы уравнений (2) в каждой точке контура записываем два граничных условия через функцию прогиба , а два других – через функцию усилий

Рассматриваем на контуре условия шарнирного опирания на гибкие из плоскости контура нерастяжимые и несжимаемые диафрагмы:

(5)

Удовлетворяя граничным условиям (5) во всех точках контура, ищем функции и в виде двойных тригонометрических рядов по синусам:

(6)

(i= 1,2,3,…M, j=1,2,3,…N).

Представив функции и в таком виде, необходимо и действующую на оболочку реальную нагрузку разложить в двойной ряд Фурье по синусам:

(7)

Вопрос о значениях М и N в (6), (7) необходимо решать в связи с требуемой инженерной точностью решения . В практических расчетах надо решать задачу в приближении, которое уточняет предыдущее приближение менее чем на 5% по напряжениям.

Рассматриваем в (6), (7) значения M=N=4, то есть вычисляем шестнадцать первых членов данных рядов.

Коэффициенты ряда (7) вычисляются по формуле:

(8)

Для удобства вычислений представим нагрузку в виде:

(9)

где - безразмерные функции, задающие характер распределения нагрузки вдоль соответствующих координатных осей, а - постоянная, численно равная максимальному значению действующей на оболочку нагрузки и измеряющаяся в МПа.

Например, для нагрузки, изображенной на рисунке 3 а, имеем

Для нагрузок, изображенных на рисунке 4 а, 4 б,4 в соответственно, имеем:

Обозначим также через координаты начала и конца загружения соответственно по осям x и y. Например, для нагрузок, изображенных на рисунке 3 а, 3 б, 3 в соответственно, имеем:

С учетом этих изображений выражение (8) примет вид:

(10)

Зная коэффициенты и имея в виду разложение (7), на основе принципа суперпозиции (принципа независимости действия сил) получаем решение в виде суммы решений на действие каждого из членов ряда разложения

При рассмотрении произвольного члена ряда (7) вида:

(11)

функции и берем в виде:

(12)

Для определения коэффициентов и в (12) подставляем (11) и (12) в (2), приравниваем коэффициенты перед произведением синусов и, решая систему алгебраических уравнений, находим:

(13)

Используя принцип суперпозиции, записываем общее решение для нагрузки вида (7):

(14)