Методы расчета сложных электрических цепей постоянного тока

Проектирование и дальнейшая эксплуатация электротехнических установок требуют выполнения расчетов для выбора:

1) элементов по номинальным параметрам

2) схем соединения в различных режимах

3) критических и аварийных параметров

Решение таких задач обычно сводится к расчету эквивалентных и часто упрощенных электрических схем (схем замещения).

Например, требуется определить сечение и нагрев кабеля, питающего электрический двигатель в конкретной технологической установке и выбрать соответствующую коммутационную аппаратуру.

Решение задачи анализа в любом ее варианте сводится к следующему:

1) С использование схем замещения всех устройств и в соответствии со способом их соединения составляется общая схема электрической цепи.

2) Составляется математическое описание (модель исследования электрической цепи). Оно включает в себя уравнения составленные для узлов и контуров схемы по закону Кирхгофа.

В зависимости от степени идеализации элементов электрической схемы ее математическая модель линейной, либо нелинейной.

Определение токов и напряжений на этих элементах схемы и составляет сущность расчета.

Задача синтеза электрических цепей является более сложной. Ее цель – определение структуры и состава элементов цепи, обладающей определенными (заданными) свойствами.

Известно несколько методов расчета электрических цепей:

1) Метод контурных токов (Лекция 1)

2) Метод узловых потенциалов (см. Лабораторная работа №2)

3) Метод наложения (суперпозиции) (Лабораторная работа №2)

4) Метод эквивалентного генератора (Лекция 1)

5) В настоящее время широко применяется расчёт электрических цепей с помощью специальных программ на компьютере (например, “Electronics Work Bench”)

Понятие о нелинейных элементах электрических цепей постоянного тока

1) Элементы цепи постоянного тока иногда могут иметь нелинейную ВАХ. Здесь ток не пропорционален приложенному напряжению. Это свойство является заложенным либо в конструкцию Н.Э., либо приобретаемым в процессе протекания тока. Получаем нелинейный элемент.

2) Типичным примером 1-го рода являются полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы, оптико- и фото- приборы, терморезисторы). 2-е – лампа накаливания и пр.

3) Основная характеристика – ВАХ. Она иногда может быть задана аналитически, но ее всегда можно подтвердить экспериментально. ВАХ подразделяется на симметричные и несимметричные.

Электромагнетизм

1. Единство электрических и магнитных явлений.

1.1 Если в проводящей среде источником электрической энергии непрерывно поддерживается электрическое поле, то в ней возникает электрический ток.

1.2 При протекании постоянного тока в проводящей среде происходит непрерывная замена каждого элемента заряда равным ему другим элементом и электрическое поле остается постоянным. При движении электрических зарядов вокруг проводника возникает магнитное поле. Оно обнаруживается своим механическим воздействием на внесенный в него проводник с током (или намагниченную стрелку компаса). Сила, испытываемая прямолинейным отрезком провода длиной l с током i равна

Здесь В – вектор магнитной индукции. Ее можно так же называть магнитной индуктивностью. Этот вектор перпендикулярен проводу с током. А вектор силы тоже перпендикулярен проводу и индукции.

Взаимодействие магнитного поля тока определяют принцип действия большинства электротехнических устройств – электромагниты, реле, электрогенератор, измерительные приборы, электродвигатель.

Магнитное поле – характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной величине заряда и ее скорости.

Количественные характеристики – магнитная индукция B – векторная величина, определяющая силу, действующую на электрический заряд.

– сила Лоренца

Здесь – заряд электрона

– его скорость

– угол между направлениями поля и тока

Направление силы определяется по правилу левой руки. Линии поля – в ладонь, пальцы – по направлению тока, сила – большой палец.

В проводнике, где течет ток сила , где – длина проводника.

Рассмотрим явление взаимодействия 2-х // проводников с токами и . Если токи протекают по параллельным проводникам, то угол и , а сила , где – индукция поля, образованного током . Известно (из курса физики), что , где – напряженность магнитного поля. Это тоже векторная величина. Она не зависит от свойств среды и определяется только токами в проводниках.

Связь между этими величинами определяется законом полного тока.

(А)

Здесь – магнитное напряжение.

Uм определяется в однородном магнитном поле как произведение проекции вектора на отрезок

Для большинства практических случаев закон полного тока формулируется как

Здесь – длина средней линии магнитного поля

– число витков с током (потокосцепление)

Для прямолинейного проводника с током определим намагничивающую силу

Направление поля определяется по правилу буравчика.

Контур с радиусом r. Длина вектора совпадает с проекцией или

Полный ток , отсюда

Эта формула справедлива для бесконечного проводника и даже для , но конечного.

Вернемся к 2-м // проводам. Здесь напряженность поля от тока . Тогда выражение для .

Согласно 3-му закону Ньютона действие равно противодействию.

Направления этих сил определяется по правилу левой руки. Для равнонаправленных токов – проводники будут притягиваться, а для разнонаправленных – отталкиваться.

для кабеля с током 500 А и a=200 мм

Магнитное поле соленоида и тороидальной катушки

Магнитное поле кольцевой катушки имеет вид концентрических окружностей в центре (на оси катушки) по закону полного тока будет равна при условии . Для значений . Следует заметить, что поле соленоида аналогично полю плоского магнита.

Намагничивание ферромагнитных материалов

Известно, что имеется диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные материалы. У 2-х первых , а для 3-их . Это Fe, Ni, Co и их сплавы. Оказавшись во внешнем магнитном поле эти материалы значительно усиливают его. Такое явление объясняется так. Домены этих материалов – области самопроизвольного намагничивания – без поля ориентированы случайным образом и их намагниченность не проявляется. Во внешнем поле Эти домены ориентируются по его направлению и увеличивают его многократно. Тогда соотношение ферромагнитного тела характеризуется кривой намагничивания. Рассмотрим процесс намагничивания ферромагнитного сердечника, помещенного в катушку с током.

1) При отсутствии сердечника с увеличением тока магнитная индукция B изменяется по линейному закону . По закону полного тока и тогда имеем зависимость индукции .

2) При наличии сердечника с увеличением тока индукция начинает возрастать непропорционально току, то есть домены начинают перестраиваться по полю (0-1) .

3) При дальнейшем увеличении поля растет интенсивность ориентации, это участок наибольшей намагниченности . Это участок 1-2.

4) Затем наступает участок насыщения, т.е. домены заканчивают ориентацию (2-3) и при дальнейшем увеличении тока индуктивность поля растет так, как если бы сердечник отсутствовал.

Циклическое перемагничивание

Если через катушку пропустить ток, меняющий свое направление, то сердечник будет перемагничиваться.

Эта кривая называется кривой гистерезиса (запаздывания). Участок 0-А называется основной кривой намагничивания.

Этот процесс связан с потерями энергии и сопровождается выделением теплоты.

Площадь петли пропорциональная затратам энергии за один цикл перемагничивания.

В зависимости от вида петли гистерезиса ферромагнитные материалы подразделяются на Магнитомягкие и магнитотвердые.

Магнитомягкие материалы имеют круто поднимающуюся основную кривую намагничивания и относительно малую площадь петли гистерезиса.

Для магнитотвердых материалов характерны пологость основной кривой намагничивания и очень большая площадь петли гистерезиса.

Ферромагнетики, их намагничивание и перемагничивание

Материалы, обладающие большой магнитной проницаемостью, называются ферромагнетиками. К ним относятся: сталь, железо, никель, кобальт, их сплавы и др.

Магнитные свойства веществ зависят от магнитных свойств элементарных носителей магнетизма — движущихся внутри атомов электронов, а также от совместного действия их групп.

Электроны в атомах, двигаясь по орбитам вокруг ядра атома, образуют элементарные токи или маг­нитные диполи, которые характеризуются магнит­ным моментом диполя т. Величина его равна произведе­нию элементарного тока i и элементарной площадки S (рис. 3-13), ограниченной элементарным контуром т = iS. Вектор т направлен перпендикулярно к площадке S по правилу буравчика. Магнитный момент тела представляет собой геометрическую сумму.магнит­ных моментов всех диполей.

Кроме рассмотренных орбиталь­ных моментов электроны, вращаясь вокруг своих осей, создают еще так называемые спиновые моменты, кото­рые играют важнейшую роль в на­магничивании ферромагнетиков.

В ферромагнетиках образуются отдельные самопроизвольно намаг­ниченные области (10^-2—10^-6см³), спиновые моменты ко­торых ориентируются параллельно. Если ферромагнетик не находится во внешнем поле, то магнитные моменты отдельных областей направлены самым различным обра­зом и суммарный магнитный момент тела равен нулю — ферромагнетик не намагничен. Внесение ферромагнетика во внешнее магнитное поле, например катушки с током, вызывает поворот магнитных моментов части областей в направлении внешнего поля и рост размеров тех областей, направления магнитных моментов которых близки к напра­влению внешнего поля. В результате ферромагнетик на­магничивается.

Если при увеличении внешнего поля все области будут ориентированы в направлении внешнего поля и прекратится рост областей намагничивания, то наступит состояние пре­дельной намагниченности ферромагнетика, называемое маг­нитным насыщением.

В магнитной цепи, образованной преимущественно фер­ромагнитными участками, можно получить большую магнит­ную индукцию при относительно малой э. д. с.

Профессор Московского университета А. Г. Столетов в 1872 г., помещая стальной сердечник в катушку с токами измеряя магнитную индукцию в нем (В) при различных значениях напряженности поля (Н), впервые получил зависимость В = f (Н), которая изображается кривой на­чального намагничивания (рис. 3-14). Кри­вая состоит из трех участков: 1) прямолинейный участок Оа

показывает, что в начале магнитная индукция быстро растет почти пропорциональ­но напряженности; 2) уча­сток аб, называемый коленом кривой, на котором рост маг­нитной индукции замедляет­ся; 3) участок, расположенный за коленом кривой, показы­вает, что здесь зависимость между В и Н линейна, но на­растание магнитной индукции происходит медленно вслед­ствие магнитного насыщения. Нелинейная зависимость В = f (Н) показывает, что магнитная проницаемость ферромагнетика _а = В/Н непо­стоянна и зависит от напряженности поля.

При работе в цепях переменного тока происходит перио­дическое перемагничивание ферромагнетика.

Рис. 3-14 Начальная кри­вая намагничивания

стали.

При увеличении намагничивающего тока, а следовательно, и напряженности поля Н магнитная индук­ция достигает максимального значения + В_м (рис. 3-15). При уменьшении Н маг­нитная индукция уменьшается, но при тех же значениях Н магнитная индукция имеет несколько большие значения, чем при нарастании Н (участок кривой АБ). При напряженности поля Н = 0 магнитная, индукция назы­вается остаточной В_r (отрезок ОБ рис. 3-15).

Из изложенного следует, что магнитная индукция зависит не только от напряженности поля, но и от предвари­тельного магнитного состояния ферромагнетика. Рассмо­тренное явление запаздывания магнитной индукции назы­вается магнитным гистерезисом. Оно вызы­вается как бы внутренним трением, возникающим при изменении ориентации магнит­ных моментов областей само­произвольного намагничива­ния.

При изменении направления намагничивающего тока меняется и направление напряженности поля. Доведя ее до значения H_С, называемого

коэрцитивной силой (отрезок ОГ), по­лучим индукцию В = 0.

При дальнейшем увеличении Н обратного направления маг­нитная индукция достигнет зна­чения — В_м.. Далее уменьшая Н до нуля, получим уменьшение В до значения остаточной индук­ции (отрезок ОЕ). Наконец, из­менив еще раз направление Н, получим индукцию + В_м.

Таким образом, при циклическом перемагничивании ферромагнетика зависимость В = f (Н) графически можно представить замкнутой кривой — симметричной петлей гистерезиса АБГДЕЖА. Наибольшая из возможных петель для данного материала называется предельной петлей.

Построив для данного ферромагнетика несколько сим­метричных петель с разными В_м (рис. 3-16) и соединив вер­шины петель, получим основную кривую на­магничивания, близкую к кривой начального на­магничивания.

Перемагничивание стали вызывает нагрев, что связано с потерями энергии от гистерезиса. Площадь петли гистере­зиса пропорциональна энергии, затраченной на один цикл перемагничивания

Мощность удельных потерь от гистерезиса, выраженная в ваттах на килограмм массы сер­дечника, зависит от сорта стали, магнитной индукции и

Рис. 3-17. Петли гистерезиса для различных материалов.

1 — магнитномягкий материал, электротехническая сталь; 2 — магнитномягкий материал, пермаллой; 3 — магнитнотвердый материал.

числа циклов перемагничивания стали в секунду или, что то же, частоты переменного тока f в обмотке электромагнита.

Основная кривая намагничивания и петля гистерезиса характеризуют свойства магнитных материалов. Три петли, типичные для мягкой стали, пермаллоя и твердой стали даны на рис. 3-17.

Магнитные цепи

Под ней понимают совокупность немагнитных и ферромагнитных тел в которой под действием магнитодвижущей силы возникает магнитный поток. Пример – сердечник

тр-ра, электромагнита, реле, дросселя.

За счет тока i в катушке с числом витков w в сердечнике возникает магнитный поток Ф.

Для потока Ф и м.д.с. им есть аналогии в электрических цепях. Это ток I и напряжения U. И для них справедливы законы Ома и Кирхгофа.

Закон Ома для магнитной цепи

Введем обозначения:

– магнитное сопротивление, тогда имеем т.е. магнитный поток на участке магнитной цепи прямо пропорционален магнитному напряжению на этом участке.

Величина магнитного сопротивления очень сильно зависит от среды т.к. и для и для стали и ее сплавов

1. Электромагниты

Расположенный вблизи катушки с током стальной сердечник намагничивается и под действием электромагнитных сил втягивается в катушку. При этом он стремится занять положение в середине катушки, когда магнитное поле будет наибольшим.

Электромагнит – это устройство, состоящее из намагничивающей катушки и магнитопровода, подвижная часть которого (якорь) притягивается с силой F (Тл, м)

Из рассмотрения кривой намагничивания очевидно, что изменением тока подмагничивания, можно изменять силу тяги электромагнита F.

2. Электромагнитная индукция