Момент силы и момент импульса. Уравнение динамики вращательного движения

Опыт показывает, что под действием силы, приложенной к телу, оно не всегда начнет вращаться. Чтобы привести тело во вращение, необходим отличный от нуля момент силы.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенным из т.О в точку приложения силы, на саму силу :

. (2.5.1)

Направление вектора определяется по правилу правого винта и его модуль равен:

. (2.5.2)

Величина - кратчайшее расстояние между линией действия силы и т.О называется плечом силы (см. рис.2.2).

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной т.О данной оси. (рис. 2.3)

Значение не зависит от положения т.О на оси Z.

Если ось Z совпадает с направлением вектора , то момент силы относительно оси представляется в виде вектора.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

. (2.5.3)

Его модуль равен: .

Моментом импульса относительно некоторой оси вращения Z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора , определенного относительно любой т.О, принадлежащей оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси равен сумме моментов импульса отдельных частиц:

. (2.5.4)

Используя формулу , получим:

(2.5.5)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (2.5.4) по времени.

Тогда

. (2.5.6)

Это выражение является математической записью уравнения динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

Производная момента импульса твердого тела относительно оси по времени равна результирующему моменту сил относительно той же оси.

С учетом направлений векторов и , можно записать в векторном виде:

. (2.5.7)

Для твердого тела , следовательно, при неизменном моменте инерции получим:

.

С учетом (2.5.6) имеем: или .

Учет направлений соответствующих векторов позволяет записать еще одну форму закона динамики вращательного движения.

. (2.5.8)

Таким образом, угловое ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально результирующему моменту сил относительно оси вращения и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси.