Задача 4

Функция полезности потребителя описывается формулой U = XY /2, где X – объём потребления бананов, Y – объём потребления пепси-колы. Цена 1 кг бананов 3$, 1 л пепси-колы – 2$, летом потребитель тратил на эти товары 20$ в неделю. Зимой цена бананов поднялась до 5$ за килограмм, цена пепси-колы не изменилась. Определите:

1) Объём оптимального потребления бананов и пепси-колы летом.

2) Величину расходов, необходимую зимой для достижения того же уровня полезности, что и летом.

3) Количественное значение эффекта дохода и эффекта замены.

Решение. Бюджетные возможности можно представить в виде равенства: M = P_XX + P_Y Y, где:

X и Y – количество товаров, приобретаемых потребителем;

P_X и P_Y – цена товаров X и Y;

M – доход потребителя.

Бюджетные возможности потребителя при покупке бананов (товар X) и пепси-колы (товар Y) летом можно выразить формулой 3 X + 2 Y = 20.

На основе этой формулы надо построить бюджетную линию. Наклон бюджетной линии определяется обратным соотношением цен и характеризует пропорцию замены или соотношение товаров X и Y в наборе:

N_З = = , или = . По условию задачи = .

Равновесие потребителя достигается в точке касания бюджетной линии с графиком безразличия, где их углы наклона совпадают, а значит, соотношение товаров в наборе на графике безразличия должно соответствовать соотношению товаров на бюджетной линии и определяться соотношением цен. Иными словами для графика безразличия в точке касания MRS_{x y} = ∆Y / ∆X = P_X / P_Y.

Или, также как для бюджетной линии, соотношение товаров в наборе равно = .;

Соотношение товаров в наборе определяется соотношением цен, а количество товара X и товара Y зависит от величины дохода.

1. Для определения оптимального набора составим и решим систему уравнений:

3 X + 2 Y = 20;

Отсюда Y = 3/2 ^. X → 3 X + 2(3/2 ^. X) = 20 →

3 X + 3 X = 20, отсюда X = 3,3; соответственно Y = 5.

Оптимальное потребление составит 3,3 кг бананов и 5 л пепси-колы.

Определим величину общей полезности данного набора:

U = XY /2 = (3,3 ^. 5)/2 → U = 8,25.

Эта полезность соответствует всем наборам, находящимся на графике безразличия, который можно вывести из формулы полезности U = XY /2 и выразить функцией Y = 2 U / X → Y = 16,5/ X

2. Определим набор, соответствующий такому же уровню полезности, но при более высокой цене товара X.

Соотношение товаров в наборе изменится в связи с увеличением цены бананов (товар X): = .

Количество товара X и товара Y должно быть таким, чтобы при изменившемся соотношении общая полезность набора не изменилась, то есть новый набор должен находится на существующем графике безразличия. Составим и решим новую систему уравнений с учётом функции полезности:

1. = → Y = 5X/2

2. Y = 16,5/ X → 16,5 = Y X

16,5 = (5 X /2) ^. X

16,5 = 5 X ²/2 → 33 = 5 X ² → X ² = 6,7 → X = 2,6; Y = X ^. 5/2 = 6,5.

Набор 2,6 кг бананов и 6,5 л пепси-колы соответствует такому же уровню полезности, что и в первом наборе. Согласно свойствам графика безразличия уменьшение одного блага сопровождалось увеличением другого в такой пропорции, что общая полезность оставалось постоянной величиной.

Определим бюджет потребителя, соответствующий новому равновесному набору, исходя из формулы бюджетных возможностей:

M = P_XX + P_YY

M = 5 ^. 2,6 + 2 ^. 6,5 = 26$, то есть доход потребителя должен возрасти.

3. Эффект замещения составит (3,3 кг – 2,6 кг) = – 0,7 кг бананов и (6,5 кг – 5 кг) = + 1,5 пепси-колы.

Эффект дохода. Если бы покупатель тратил зимой на покупки 20$, то его оптимальный набор при новом соотношении цен составил бы 2 кг бананов и 5 л пепси-колы. Это можно определить, составив систему уравнений (см. п. 1).

1. 5 X + 2 Y = 20

2. =

Отсюда Y = 5/2 ^. X → 5 X + 2(5/2 ^. X) = 20 →

5 X + 5 X = 20, отсюда X = 2; соответственно Y = 5.

Следовательно, эффект дохода составляет 0,6 кг бананов (2,6 кг – 2 кг) 1,5 л пепси-колы (6,5 л – 5 л).