Численное интегрирование

Курсовая работа

По информатике

Выполнил:

Студент группы 3-73-1 Чучков М.В.

Проверил:

Преподаватель Бухтулова Е.В.

Ижевск 2008

Содержание:

1. Цели курсовой работы 3

2.Численное интегрирование 4

3. Методы численного интегрирования: 6

3.1. Метод хорд 6

3.2. Метод простых итераций 8

3.3. Метод Симпсона 10

3.4. Метод средних прямоугольников 12

4. Применение численных методов для конкретных задач 13

4.1. Задача №1 и ее графический метод решения 13

4.2. Текст программы для решения задачи №1 14

4.3. Текст программы для решения задачи №2 16

5. Вывод 19

6. Список используемой литературы 20

1. Цель курсовой работы:

Целью курсовой работы является самостоятельное освоение и закрепление практических навыков приближенных методов вычислений, а так же составления и отладки прикладных вычислительных и моделирующих программ с элементами диалога на языке ПАСКАЛЬ.

Численное интегрирование

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых и , где и — пределы интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев не удается найти аналитической формулы, т.е. выразить неопределенный интеграл в виде алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая формула находится,то она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

при условии, что A и B конечны и f(x) является непрерывной функцией x во всем интервале A < x < B. Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=A, x=B. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от A до B на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Обычно f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом, что приводит к квадратурным формулам:

где xi - узлы интерполяции;

i - произвольный номер узла;

Ci - коэффициенты;

R - остаточный член или погрешность метода.

Неучет (отбрасывание) R приводит к погрешности усечения. К этим погрешностям в процессе вычислений добавляются погрешности округления.