Решение числового примера

Исходные данные

Вычисление расстояния D_АР

Решение обратных задач

Вычисление дирекционных углов б_{АР =} б_D

sin ш = DЧsinб/ S _AB; sin =174,52Ч0,66179/3068,48=0,03950;

sin ш' = DЧsinб'/ S _AС; sin `=174,52Ч0,95061/5275,51=0,03292;

ш = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

ш'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

ц = 180 ^o – (б+ ш) = 180 ^o – (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

ц`= 180 <sup>o</sup> – (б`+ ш`) = 180 <sup>o</sup> – (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

б_D = б_AB ± ц =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

б_D`= б<sub>AC</sub> ± ц`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

Контроль:

(б_D – б'_D) хm_в;

где m_в –СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в формулах вычисления дирекционного угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ≤ 30``

0^o00` 01`` ≤ 30``

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Х_p = Х_А+ ∆Х,Y_p = Y_А+ ∆Y,

Х'_p = Х_А+ ∆Х',Y'_p = Y_А+ ∆Y'.

∆Х= Dcosб_D,∆Y= Dsinб_D,

∆Х'= Dcosб'_D,∆Y'=Dsinб'_D.

Расхождение координат не должно превышать величины хm_ЯЧp, где p=206265", m_Я – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формуле:

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(DЧm_б / P)²

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _б – точностью угловых измерений.

Пример: m_D =2см, m_б= 5``, тогда

M_p =√ [(0,02) ²+(170Ч5/2Ч10⁵)²] ≈ 2Ч10^-2 = 0,02м.

Решение прямой и обратной засечки (по варианту задания)

Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга).

Для однократной засечки необходимо иметь два твёрдых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твёрдого пункта.

Исходные данные: твердые пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

Полевые измерения: горизонтальные углы в1, в ₂, в`<sub>1</sub>, в`_2.

Определяется пункт P.

Формулы для решения задачи:

Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctg в ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctg в ₁+ ctg в ₂);

Х_p= Х_А+∆Х_А;

Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctg в ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctg в ₁+ ctg в ₂); Y_p= Y_А+∆Y_А;

Оценка точности определения пункта P.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определения:

M₁ =(m_вЧ√(S₁²+ S₂²))/pЧsinг₁;

M₂ =(m_вЧ√(S₁²+ S₂²))/pЧsinг₂;

Значения величин, входящих в приведённые формулы следующие:

m_в =5``, p=206265``; г=73˚15,9`; г=62˚55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

M₁ = (5``Ч√2,86+2,69)/(2Ч10⁵Ч0,958)=0,06м.

M₂ = (5``Ч√2,69+4,41)/(2Ч10⁵Ч0,890)=0,07м.

M_r = √ (M₁² +M₂²); M_r =√ [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м.

Расхождение между координатами из двух определений

r = √ [(Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+(Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

r =√ [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=√0,0036=0,06м.

На основании неравенства r =0,06м 3Ч0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

За окончательные значения координат принимают среднее из двух определений.

Решение числового примера

в1   в2	XB XA	ctg в1 ctg в2 (XB- XA)ctg в1	YB YA	∆ XA XP = XA+∆XA	(YB-YA)ctgв1	∆ YA YP=YA+∆YA
XB- XA	YB-YA
ctg в1 + ctg в2
52˚16.7'   52˚27.4'	1630.16 1380.25	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50	1453.57 2833.82	1523.39	855.88 2116.38
+249.91	+1969.50
в'1   в'2	XC XB	ctg в'1 ctg в'2 (XC- XB)ctg в'1	YC YB	∆ XB XP = XA+∆XA	(YC-YB)ctgв'1	∆ YB YP=YA+∆YA
XC- XB	YC-YB
ctg в'1 + ctg в'2
69˚48.5'   52˚27.4'	3401.04 1630.16	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00	1203.56 2833.82	332.24	-1113.68 2116.32
+1770.88	+903.41

2833.82 2116.35

Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота).

Необходимо иметь три твёрдых пункта, для решения задачи с контролем используют четвёртый твердый пункт.

Исходные данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

Полевые измерения: горизонтальные углы г₁, г₂, г₃.

Определяемый пункт P.

Формулы для вычисления:

1.ctgг₁=а; ctgг₂=b

2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-(Х_B- Х_A);

3.k₂ =a(Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-(Х_C- Х_A);

5.k₄ =b(Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

6.c=(k₂ - k₄)/(k₁ - k₃)=ctga_AP;

7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

8.∆Y=(k₂ - с k₁)/(1 - с²);

9.∆Х= с _AY;

10.Х_p = Х_А+ ∆Х, Y_p = Y_А+∆Y.

Решение численного примера

Координаты из первого определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.

Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т.е. пунктом А, B, C.

Исходными данными являются: г₁=109^o48`42``; г<sub>3</sub>=151<sup>o</sup>26`24``; Х_d=6524,81м, Y_d=893,64м.

Контроль осуществляется следующим образом: определить

ctgб_PD =(Х_D- Х_P)/(Y_D- Y_P), б_PD=256 ^o27`38``;

Из схемы первого решения имеем: С=ctgб _PA=-0,26833;

б_PD=105^o01`13``.

Контроль определяется пунктом P:

r=√ [(Х_P - Х`<sub>P</sub>) <sup>2</sup>+(Y<sub>P</sub> - Y`_P) ²] ≤ 3 M_r;

где r, как и в случае прямой засечки,

M_r=1/2Ч√ [M₁² +M₂²]