Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

∆U₁ = k∆l₁

∆U₂ = k∆l₂

…………..

∆U_n = k∆l_n

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(∆U₁² + ∆U₂² + … + ∆U_n²) / n = k²Ч(∆l₁² + ∆l₂² +... + ∆l_n²) / n;

∑∆U² / n = k²Ч(∑∆l² / n);

m = √(∑∆U² / n);

m² = k² Ч m_l²,

где m_l – СКП дальномерного отсчёта.

m = k Ч m_l.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Функция вида U = l₁ + l₂

Определить СКП U, где l₁ и l₂ – независимые слагаемые со случайными погрешностями ∆l₁ и ∆l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

∆U = ∆l₁ + ∆l₂.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

∆U₁ = ∆l₁' + ∆l₂' – 1-е измерение,

∆U₂ = ∆l₁" + ∆l₂" – 2-е измерение,

…………………

∆U_n = ∆l₁⁽ⁿ⁾ + ∆l₂⁽ⁿ⁾ – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

∑∆U² / n = (∑∆l₁²)/n + 2Ч(∑∆l₁Ч∆l₂)/n + (∑∆l₂²)/n.

Так как в удвоенном произведении ∆l₁ и ∆l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

m_U² = m_l1² + m_l2²;

m_U = √(m_l1² + m_l2²).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

m_l1 = m_l2 = m;

m_U = √(m² + m²) = √2m² = m√2.

В общем случае:

m_U = m√n,

где n – количество аргументов l.

Функция вида U = l₁ - l₂

m_U = m√n;

m_U = √(m_l1² + m_l2²).

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l₁ - l₂ + l₃

m_U = √(m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_n

m_U = √[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ѓ(l₁, l₂, …, l_n)

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (dѓ/dl₁)Чdl₁ + (dѓ/dl₂)Чdl₂ + … + (dѓ/dl_n)Чdl_n,

где (dѓ/dl₁), (dѓ/dl₂), …,(dѓ/dl_n) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (dѓ/dl₁)²Чm_l1² + (dѓ/dl₂)²Чm_l2² + … +(dѓ/dl_n)²Чm_ln².

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(dѓ/dl₁), (dѓ/dl₂), …,(dѓ/dl_n).

И тогда m_U = √[ (dѓ/dl₁)²Ч m_l1² + (dѓ/dl₂)²Чm_l2² + … +(dѓ/dl_n)²Чm_ln²].

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.