Алгебраические операции (n-арная). Ранг операции

4.1. Алгебраические операции и их свойства

Бинарные и n-местные алгебраические операции.

Пусть А – непустое множество.

Определение 4.1. Отображение множества А×А в А называется бинарной алгебраической операцией на множестве А.

Примерами бинарных алгебраических операций являются обычное сложение и умножение на множестве целых чисел, объединение и пересечение на булеане непустого множества.

Определение 4.2. Отображение множества в А называется n-арной алгебраической операцией на множестве А, а число n (n ≥ 1) – рангом операции.

Выделение некоторого элемента множества А называется нульарной операцией на множестве А, число 0 – рангом нульарной операции.

Определение 4.3. Частичная функция из множества в А называется частичной n-арной алгебраической операцией на множестве А.

23. Бинарные алгебраические операции (БАО): нейтральный и смметричный элементы. Аддитивная и мультипликативная форма записи БАО.

Нейтральные элементы

Пусть ∗ – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве А.

Определение 4.7. Элемент е ∈ А называется нейтральным относительно операции ∗, если (∀a ∈ А) a ∗ e = e ∗ a = a.

Теорема 4.1. Если нейтральный элемент относительно операции ∗ существует, то он единственен.

Доказательство. Пусть e и e′ – нейтральные элементы относительно операции ∗.

Тогда e = e ∗ e′ = e′, то есть e = e′.

Симметричные элементы

Пусть ∗ есть бинарная алгебраическая операция на непустом множестве А и элемент е ∈ А – нейтральный элемент относительно ∗.

Определение 4.8. Элемент а ′ ∈ А называется симметричным к элементу а ∈ А относительно операции ∗, если а ∗ a' = a ′∗ a = е. В этом случае элемент а называется симметризуемым, а элементы а и а ′ – взаимно симметричными.

Теорема 4.2. Если операция ∗ ассоциативна и элемент a симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к а.

Доказательство. Пусть a ′, a ″ есть элементы, симметричные к элементу a относительно ∗. Следовательно, a ∗ a ′ = a ′ ∗ a = e и a ∗ a ″ = a ″ ∗ a = e. Тогда в силу ассоциативности операции ∗ получаем a ′ = a ′ ∗ e = a ′ ∗ (a ∗ a ″) = (a ′ ∗ a) ∗ a ″ = e ∗ a ″ = a ″, то есть a ′ = a ″.

Аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной алгебраической операции

Для обозначения бинарной алгебраической операции ∗ наиболее часто используются аддитивная и мультипликативная формы записи.

При аддитивной форме записи операцию ∗ называют сложением, а ее результат a ∗ b – суммой а и b. При этом вместо a ∗ b пишут а + b. Нейтральный элемент относительно сложения называют нулевым элементом (или нулем) и обозначают символом 0.

Элемент, симметричный к элементу а, называют противоположным к элементу а и обозначают через –а.

При мультипликативной форме записи операцию ∗ называют умножением, а ее результат а ∗ b – произведением а и b. При этом вместо а ∗ b пишут a ⋅ b. Нейтральный элемент относительно умножения называют единичным элементом (или единицей) и обозначают символом 1.

Элемент, симметричный к элементу а, называют обратным к элементу а и обозначают через .