Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня. Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы

Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d²W/dx²=M(x)/EI_min; M(x)= –Fx;

d²W/dx²= –FW/EI_min; W″+ +(F/EI_min)W=0; k²=F/EI_min; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k² получаем: n²π²/ℓ² = F/EI_min; F= n²π² EI_min /ℓ²; при n=1→F_min=F_кр

F_кр=π²EI_min/ℓ² – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; W_max при х-?:

W′_x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; W_max=A∙1=f→A=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k ­­– координата max. прогиба.

x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;

x_max=ℓ/2n.

Для n=1: F_кр=x²EI_min/ℓ²;

Для n=2: F_кр=4π²EI_min/ℓ²;

Для n=3: F_кр=9π²EI_min/ℓ²;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием F_кр.

I_z=bh³/12; I_y=bh³/12; I_z >> I_y;

I_z – ось наибольшей жесткости. EI_z – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. I_y – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса I_z ≠ I_y, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции I_z = I_y (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

А₁=А₂; I₁>>I₂; 1 рациональней 2.