Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня

Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d²W/dx²=M(x)/EI_min; M(x)= –Fx;

d²W/dx²= –FW/EI_min; W″+ +(F/EI_min)W=0; k²=F/EI_min; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k² получаем: n²π²/ℓ² = F/EI_min; F= n²π² EI_min /ℓ²; при n=1→F_min=F_кр

F_кр=π²EI_min/ℓ² – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; W_max при х-?:

W′_x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; W_max=A∙1=f→A=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k ­­– координата max. прогиба.

x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;

x_max=ℓ/2n.

Для n=1: F_кр=x²EI_min/ℓ²;

Для n=2: F_кр=4π²EI_min/ℓ²;

Для n=3: F_кр=9π²EI_min/ℓ²;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием F_кр.

I_z=bh³/12; I_y=bh³/12; I_z >> I_y;

I_z – ось наибольшей жесткости. EI_z – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. I_y – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса I_z ≠ I_y, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции I_z = I_y (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

А₁=А₂; I₁>>I₂; 1 рациональней 2.