Напряжения и перемещения. Закон Гука

Стержень (рисунок 2.1) под действием двух равных по величине и противоположно направленных по его продольной оси сил Р, претерпевает деформацию растяжения, которая проявляется в изменении длины и поперечных размеров стержня.

Рисунок 2.1 Растяжение стержня

Его первоначальная длина в увеличивается на величину , именуемую абсолютным удлинением, и становится равной , таким образом:

(2.1)

Абсолютное удлинение стержня при данном значении деформирующей силы возрастает с увеличением его первоначальной длины. В связи с этим деформация при растяжении более полно характеризуется относительной величиной , которую называют относительным удлинением:

(2.2)

При направлении внешних сил, противоположном указанному на рисунке 2.1, стержень испытывает деформацию сжатия. В этом случае называют абсолютным укорочением, т.к. при сжатии длина стержня уменьшается. Одновременно с продольной деформацией стержень претерпевает поперечную деформацию. При растяжении поперечные размеры уменьшаются, при сжатии увеличивается. Относительная поперечная деформация:

(2.3)

Отношение

(2.4)

называют коэффициентом Пуассона. Этот коэффициент определяют опытным путем. Для стали ; для меди ; для бронзы ; для чугуна ; для алюминия .

Напряжение в стержне. В соответствии с гипотезой плоских сечений считают, что для однородного стержня все поперечные сечения при деформации перемещаются параллельно и, следовательно, в них действуют только параллельные напряжения. Рассечем стержень плоскостью I-I (рисунок 2.1 а), перпендикулярной оси стержня. Из условия равновесия части стержня (рисунок 2.1 б), принимая во внимание, что равнодействующая внутренних сил упругости (где F – площадь поперечного сечения), имеем . Отсюда напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении или сжатии:

(2.5)

Опытным путем установлено, что в пределах удлинений для пластичных материалов имеет место прямая пропорциональная зависимость между напряжениями и деформациями.

Эта зависимость носит название закон Гука:

(2.6)

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода. Он имеет размерность напряжений – Н/см² или Н/мм² и характеризует способности материала сопротивляться упругой деформации при растяжении и сжатии. Е определяют опытным путем: для стали Е = (2,0 … 2,15)* 10⁶ Н/см²; для алюминия – (0,7 … 0,8)* 10⁶ Н/см²; для бронзы 1,15*10⁶ Н/см² .

Подставим в формулу (2.6) значения величин и , и формулы (2.2) и (2.5), получим:

, (2.7)

т.е. абсолютное удлинение (укорочение) стержня при растяжении (сжатии) прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине стержня и обратно пропорционально модулю упругости и площади поперечного сечения. Произведение называют жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии).

Закон Гука справедлив при напряжениях, не выходящих за пределы пропорциональности, т.е. при линейности зависимости