Эпюры нормальных сил при растяжении и сжатии ступенчатого бруса

Нормальные силы N, изменяются по длине бруса и являются функциями положения сечения, т.е.:

N(x)= + , где

P_i – сосредоточенное усилие;

q_i – распределенные силы.

График этой функции называют эпюрой. Эпюру строят на одном чертеже под схемой бруса. Ось абсцисс для эпюры проводят параллельно оси бруса, а на перпендикулярах к ней откладывают значения нормальных сил в заранее выбранном масштабе. Положительные значения откладывают выше, а отрицательные ниже оси абсцисс. При построении эпюры выполняют следующую процедуру.

1.На схеме бруса отмечают характерные сечения, в которых изменяется поперечное сечение бруса либо изменяется нагрузка. Нумерацию сечения начинают от свободного сечения бруса. Для статически неопределимого бруса вначале освобождаются от заделок путем раскрытия статической неопределимости.

2. На каждом участке бруса, ограниченного двумя характерными сечениями отмечают сечение на произвольном расстоянии x от начала участка бруса и для отмеченного сечения записывают аналитическое выражение нормального усилия N(x) как алгебраическую сумму всех внешних сил, лежащих по одну (любую) сторону от сечения. Вычисляют численные значения в граничных сечениях участка и откладывают на эпюре. Очертание эпюры между граничными точками определяют исходя из законов изменения нагрузки. На эпюре N при переходе через сечение, в котором приложена сосредоточенная сила P, в этом месте будет скачок на величину усилия Р. На участке действия распределенной нагрузки, интенсивность которой изменяется по степенной зависимости, эпюра нормальных сил N будет ограничена кривой, степень которой на единицу выше степени эпюры погонных нагрузок q(x). Следовательно, при q(x) =0-эпюра N ограничена горизонтальной прямой; при q(x) = const.- эпюра N ограничена наклонной прямой; в случае изменения q(x) по линейному закону эпюра N ограничена квадратной параболой и т.д.

Пример 2.7

Для ступенчатого стального бруса (рис. 2.32а) определить реакции в заделках и построить эпюры продольных сил N.

Задано: a =0,5 м, q=200 кН/м.

Рисунок 2.32

Решение.

1.Отбросим левую и правую заделку и заменим их действие неизвестными силами Х₁ и Х₄. Нумеруем характерные сечения (рис. 2.32б).

2. Запишем уравнение равновесия:

Sx=-X₁+q2a-2qa+X₄=0, или:

X₄–X₁ =0 (1)

Задача один раз статически неопределима, так число уравнений равновесия на единицу меньше числа неизвестных.

3.Запишем выражение нормальных сил N на каждом участке, последовательно отсекая сечения от начала участка, начиная от левой заделки.

N_1-2(x)=X₁-qx,

N_2-3(x)=X₁–q2a,

N_3-4(x)=X₁–q2a+2qa=X₁

4. Учитывая, что смещение заделок относительно друг друга равно нулю, запишем уравнение совместимости деформаций:

Dl_1-4=0, или:

Dl_1-2+Dl_2-3+Dl_3-4 =0

По закону Гука удлинение каждого участка стержня имеет вид:

Dl_1-2= =(a/EF)(X₁–qa)

Dl_2-3=((X₁–2qa)a)/(EF)

Dl_3-4=(X₁a)/(3EF)

Следовательно, уравнение совместимости примет вид:

(a/EF)(X₁–qa)+((X₁–2qa)a)/(EF)+(X₁a)/(3EF)=0, или

7/3X₁–3qa =0 (2)

Решая уравнения 1 и 2 совместно, получим:

X₁=9/7qa

X₄=9/7qa

5.Запишем выражения нормальных сил, подставив значение Х₁:

N_1-2(x)=9/7qa-qx, N₁(0)=9/7qa, N₂(2a)=-5/7qa

N_2-3(x)=9/7qa–q2a=-5/7qa,

N_3-4(x)=9/7qa

Строим эпюру N (рис. 2.32в).