Нормальные усилия в стержнях статически определимой системы

Усилия в стержнях статически определимой системы определяют методом сечений. Применение метода рассмотрим на примере определения усилий в стержнях системы, приведенной на рисунке 2.10.

Пусть для системы заданы линейный размер a и усилие P. Стержень ABC абсолютно жесткий. Необходимо определить осевые усилия N в стержнях системы.

Система статически определима, что не трудно установить путем последовательного удаления любого из стержней или любой опоры. В этом случае система становится геометрически изменяемой и не воспринимает внешнюю нагрузку.

Рисунок 2.10

Для определения усилий выполним следующую последовательность операций.

1. Проводим сечения, вырезающие узел Gи заменяем действие отброшенной части системы внутренними усилиями N, которые направляем на растяжение (рис. 2.11):

Рисунок 2.11

Составляем уравнения равновесия. При составлении уравнений равновесия используем принцип сохранения начальных размеров. Согласно этому принципу в случае деформаций при составлении уравнений равновесия конструкцию можно рассматривать как жесткую, имеющие первоначальную размеры и форму.

S x=-N₄–N₅×cosa= 0

S y=-P–N5×sina =0

откуда:

N₅=-Psina; N₄=-P/tga.

2. Проводим сечения, вырезающие узлы D и E, отбросим опоры, а их действие заменим внутренними усилиями N, которые направим на растяжение (рис. 2.12).

Рисунок 2.12

Составим уравнения равновесия:

S x=-N₁–N₂×cos45°-N₃ =0

S y =- P–N₂×sin45 °=0

S mom_C= N₃×a+P×2a =0

откуда:

N₃=-2P; N₂=-P/sin45°; N₁=2P+P/tg45 °

Знак плюс означает, что направление усилия в стержне выбрано правильно; знак минус означает, что направление усилия необходимо изменить на противоположное направление.

Пример 2.1

На рисунке 2.13 показана силовая схема крепления лонжерона крыла к фюзеляжу при помощи системы стержней. Лонжерон состоит из трех частей, которые соединены между собой шарнирно. Стержни соединены с лонжероном и фюзеляжем также при помощи шарниров. Лонжерон нагружен распределенной аэродинамической нагрузкой. Распределение нагрузки несимметричное относительно оси симметрии самолета. Необходимо определить усилия в стержнях и лонжероне.

Рисунок 2.13

Решение.

Вначале определим, является ли заданная стержневая система статически определимой? Из рисунка видно, что лонжерон крепится к фюзеляжу 5-ью стержнями. При нагружении пояса лонжерона в стержнях возникает 5 неизвестных осевых усилий. Направление и точки приложения этих усилий известны. Так как по торцам стержней установлены шарниры, то усилия возникают в шарнирах вдоль стержней. Для системы можно составить три уравнения равновесия, что недостаточно для определения 5-ти неизвестных. Дополнительные два уравнения можно составить, если учесть, что консольные части лонжерона соединены со средней частью в точках O и O΄ шарнирно. Это означает, что для группы сил расположенных по одну из сторон от шарнира момент относительно шарнира равен нулю. Таким образом, мы получаем два дополнительных уравнения моментов относительно точек O и O΄. Следовательно, система статически определимая.

Выделим правую консоль по шарнирам O и E. Действие отброшенной части заменим компонентами реакций X_O, Y_O, X_A, Y_A. Действие распределенных нагрузок заменим их равнодействующими (рис. 2.14).

Рисунок 2.14

Составим уравнение равновесия:

, откуда

Y_A= 10,32 кН

Компоненту X_A определим из геометрического соотношения X_A/ Y_A=2700/1500. Следовательно, X_A =18,576 кН. Усилие в подкосе АЕ будет равно: N_AE= = 21,25 кН.

Для определения X_O и Y _O составим уравнения равновесия:

,

, откуда

X_O = 18,576 кН, Y_O = -15,6 кН.

Отрицательный знак у компоненты Y_O означает, что компонента направлена в противоположную сторону.

Для левой консоли O´A´ очевидно, что усилия будут больше в 8/6 раз, так как погонная нагрузка на левой консоли увеличена до 8 кН/м по сравнению с погонной нагрузкой на правой консоли 6 кН/м.

Следовательно:

Y_{A`</sub> = 10,32 ×4/3=13,76 кН, X<sub>A`} =18,576×4/3=24,768 кН,

N_A`E`= 21,25×4/3=28,3 кН,

X_{O`</sub>= 18,576×4/3=24,768 кН, Y<sub>O`}= -15,6×4/3= -20,8 кН

Выделим центральную часть лонжерона (рис. 2.15). Действие консолей заменим реакциями в шарнирах O и O´, которые получены ранее. Действие фюзеляжа заменим неизвестными усилиями N_CB, N_CB´, N_C´B´, которые направим на растяжение стержней. Распределенные нагрузки заменим их равнодействующими.

Рисунок 2.15

Для определения усилия N_{B C} составим уравнение моментов относительно точки B´: ,

откуда N_BC= 21.96 кН

Для определения усилия N_{B´ C´} составим уравнение моментов относительно точки C:

,

откуда N_{B´ C´}=40,16 кН

Для определения усилия N_{B´ C} составим уравнение проекции на ось y:

,

откуда N_{B´ C}=-12,95 кН

Знак минус означает, что в стержне возникает сжимающее усилие.

Для проверки составим уравнение проекций на ось x:

Пример 2.2

Основная стойка шасси, представленная на рисунке 2.16, закреплена к нижней поверхности крыла и расположена в мотогондоле.

Рисунок 2.16

Закрепление шасси по линии AB обеспечивает передачу усилий в вертикальном и продольном направлениях, но не препятствует вращению вокруг оси s и поперечному перемещению. Подкос CD препятствует вращению относительно оси s, подкосы GD и FD предотвращают вращение вокруг оси D. Нагрузки приложены к осям колес несимметрично, как показано на рисунке. Необходимо определить реактивные усилия в узлах крепления шасси и усилия в подкосах.

Решение.

1. Построим расчетную схему основной стойки шасси. Применяя метод сечений, вырежем опорные узлы, а их действие заменим реакциями опор (рис. 2.17).

Рисунок 2.17

2. Для полученной пространственной системы нагрузок составим уравнения равновесия:

S v=-V_A-V_B+V_C+20000+30000=0

S d =D_A+D_B–D_C+ 7500+5000=0

S mom_A(s)=V_C´ 500–7500´1600–5000´1600=0

S mom_A(d)=V_C´ 500 –V_B´ 1000+20000´750+30000´250=0

S mom_O(v)=D_A´ 500 –D_B´ 500+7500´250–5000´250=0

Так как подкос CD закреплен шарнирно, то реактивное усилие направлено вдоль него. Следовательно, компоненты D_C и V_C связаны соотношением:

D_C=V_C´tgα=V_C´(500/700)

Решая полученную систему уравнений, получим:

V_C =(7500´1600+5000´1600)/500=400 Н

V_B =(400´500+20000´750+30000´250)/1000=22700 Н

V_A= 50000+400-22700=27700 Н

D_B =(2500´250–12214,3´500)/1000=-5482,2 Н

D_A =-12214,3+5482,2=-6732,1 Н

3. Проверка:

Smom_O(d)=V_A´500–V_B´500+20000´250–30000´250=27700´500–22700´500+20000´250–30000´250=0

4. Для определения усилия в подкосе GD, вырежем узел G и приложим усилие V_A и реактивное усилие N_GD со стороны отброшенной части (рис. 2.18).

Рисунок 2.18

Так как подкос закреплен шарнирно, то в нем возникнет только осевое усилие N_GD.

Запишем уравнение равновесия:

S v = -V_A–N_GD sin α = 0, откуда

N_GD= - V_A / sin α =