Лабораторна робота 6. Тема: Розв’язання задач математичного аналізу

Мета: Засвоєння методики розв’язання задач математичного аналізу

Теоретичні відомості

Основу курсу математичного аналізу складають такі поняття, як границя, похідна первісна функції, інтеграли різних видів, ряди і диференціальні рівняння.

За допомогою Maple можна заощадити масу часу й уникнути багатьох помилок.

В Maple деякі команди мають дві форми: активну (прямого виконання) та інертну (відкладеного виконання). Назви команд складаються з однакових букв за виключенням першої: команди прямого виконання починаються з малої літери, а команди відкладеного виконання - з великої. Після звернення до команди відкладеного виконання математичні операції (інтеграл, межа, похідна і т.д.) виводяться на екран у вигляді стандартного аналітичного запису цієї операції. Обчислення в цьому випадку відразу не проводиться. Команда прямого виконання видає результат відразу.

1.1. Обчислення границь функцій

Для обчислення границь є дві команди:

1) прямого виконання: limit(expr,x=a,par),

де expr - вираз, границю якого необхідно знайти, a - значення точки, для якої обчислюється границя, par - необов'язковий параметр для пошуку односторонніх границь (left - зліва, right - праворуч) або вказівка ​​типу змінної (real - дійсна, complex - комплексна).

2) відкладеного виконання: Limit(expr,x=a,par),

де параметри команди такі ж, як і в попередньому випадку. Приклади виконання команд:

> Limit(sin(4*x)/x,x=0);

> limit(sin(4*x)/x,x=0);

За допомогою цих двох команд прийнято записувати математичні викладки в стандартному аналітичному вигляді, наприклад:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

1.2. Неперервність функції і точки розриву

Перевірити неперервність функції f(x) на заданому проміжку [ x₁, x₂ ] можна за допомогою команди iscont(f,x=x1..x2). Якщо функція f неперервна на цьому заданому інтервалі, то в полі виведення з'явиться відповідь true - (істина); якщо функція f не є неперервною на цьому інтервалі, то в полі виведення з'явиться відповідь false - (неправда). Зокрема, якщо задати інтервал x = -infinity.. +infinity, то функція f буде перевірятися на всій числовій осі. У цьому випадку, якщо буде отримана відповідь true, то можна сказати, що функція визначена і неперервна на всій числовій осі. В іншому випадку слід шукати точки розриву. Це можна зробити двома способами:

1) за допомогою команди discont(f,x), де f - функція, досліджувана на неперервність, x - змінна. Цю команду можна застосовувати для знаходження точок розриву першого і другого роду.

2) за допомогою команди singular(f,x), де f - функція, x - змінна. Цю команду можна застосовувати для знаходження точок розриву другого роду, як для дійсних значень змінної, так і для комплексних.

Обидві ці команди видають результати у вигляді переліку точок розриву в фігурних дужках. Тип такого запису називається set. Для того, щоб надалі можна було використовувати отримані значення точок розриву, необхідно з типу set за допомогою команди convert перевести їх у звичайний числовий тип.

2. Диференціювання

2.1. Обчислення похідних функції однієї змінної

Для обчислення похідних в Maple існує дві команди:

1) прямого виконання - diff(f,x), де f - функція, яку необхідно продиференціювати, x - ім'я змінної, по якій проводиться диференціювання.

2) відкладеного виконання - Diff(f,x), де параметри команди такі самі, як і в попередньому випадку. Дія цієї команди зводиться до аналітичного запису похідної у вигляді . Після виконання диференціювання, отриманий вираз бажано спростити. Для цього використовують команди simplify, factor або expand, залежно від того, в якому вигляді вам потрібен результат.

Для обчислення похідних старших порядків необхідно вказати в параметрах x$n, де n - порядок похідної.

2.2. Обчислення частинних похідних функцій багатьох змінних

Для обчислення частинних похідних функції f (x ₁,…, x_n) використовується команда diff. У цьому випадку вона має такий формат:

diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm),

де x1,…, xn - змінні, за якими проводиться диференціювання, а після знаку $ вказані відповідні порядки диференціювання. Наприклад, частинна похідна записується у вигляді: diff(f,x,y).

2.3. Екстремуми функції. Найбільше та найменше значення функції

У пакеті Maple є ряд функцій для обчислення екстремумів, максимумів і мінімумів функцій. Для дослідження функції на екстремум використовується команда:

extrema(f,{cond},x,’s’),

де f - функція, екстремуми якої шукаються, в фігурних дужках {cond} вказуються обмеження для змінної, х - ім'я змінної, по якій шукається екстремум, в апострофах ’s’ - вказується ім'я змінної, якій буде присвоєна координата точки екстремуму. Якщо залишити порожніми фігурні дужки {}, то пошук екстремумів буде проводитися на всій числовій осі. Результат дії цієї команди відноситься до типу set.

Часто потрібно знайти мінімум або максимум заданої функції на заданому інтервалі . Для пошуку абсолютних максимумів і мінімумів виразів (функцій) використовують функції:

1) maximize(f,x,x=x1..x2, location ),

2) minimize(f,x,x=x1..x2, location ), де опція location – в рядку виводу після самого максимуму (мінімуму) функції будуть в фігурних дужках вказані координати точок максимуму (мінімуму).

Якщо після змінної вказати ’infinity’ або інтервал x=-infinity..+infinity, то команди maximize та minimize будуть шукати максимуми та мінімуми по всій числовій осі.

2.4. Локальні та умовні екстремуми функції багатьох змінних

Екстремуми (локальні та умовні) функцій багатьох змінних знаходять вбудованою функцією

extrema(f,{cond },{x₁,х₂,…},'s'),

де cond – обмеження для пошуку умовного екстремуму, які записуються у вигляді рівностей. Після обмежень у фігурних дужках вказуються всі змінні, від яких залежить функція f, а потім в лапках записується s - ім'я змінної, якій будуть присвоєні координати точок екстремуму. Якщо обмежень не вказувати, то буде проводитись пошук локального екстремуму.

На жаль, команда extrema видає всі критичні точки, навіть ті, в яких екстремуму немає. Відсіяти такі точки можна за допомогою безпосередньої підстановки цих точок у функцію, наприклад, оператором subs.