Принцип умножения

Пусть выбор А можно осуществить n способами, а выбор В - m способами, тогда выбор пары А и В можно осуществить m·n способами.

Решим задачу.

Из Ростова-на-Дону до Москвы можно добраться пароходом, поездом, автобусом и самолетом. Из Москвы до Санкт-Петербурга поездом, автобусом или самолетом. Сколькими способами можно осуществить путь по маршруту Ростова-на-Дону – Москва - Санкт-Петербург.

4·3=12

Выбор А·В можно осуществить 12 способами.

В стране есть 4 города А, В, С, Д. Из города А в город В ведет 6 дорог, из В в Д – 4, из А в С – 2, из С в Д – 3. Сколькими способами можно проехать от А до Д.

2·3+6·4=30

Соединение предметов
Размещение из n элементов по k элементам (важен порядок и важны сами элементы)	Перестановка n элементов без повторения (важен порядок, элементы не важны)	Сочетание из n элементов по k элементам (важны элементы, порядок не важен)

Размещением из n элементов множества В={b₁, b₂,…, b_n} по k элементам будем называть всякую последовательность, составленную из неповторяющихся элементов множества В, имеющую длину k (а₁, а₂, …, а_k).

Число размещений из n элементов по k элементам без повторений можно вычислить по формуле:

или

n!=1·2·3·4·5…n

Сочетанием из n элементов по k элементам без повторений будем называть всякое подмножество множества В, состоящее из k неповторяющихся элементов заданного множества В.

Число сочетаний из n элементов по k элементам можно подсчитать используя формулу:

Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколько способов составить расписание? Решить задачу если известно, что последний экзамен будет сдаваться на 8 день.

1)

2) 4·

Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 5.

Перестановкой n элементов множества В будем называть всякое размещение без повторений из n элементов по n элементам.

(Число перестановок n элементов множества равно n!)

Сколькими способами можно разместить в очередь 7 человек.

n=7 Р₇=7!=5040

Размещением с повторениями из n элементов множества В={b₁, b₂,…, b_n} по k элементам будем называть всякую последовательность длины k, составленную из элементов этого множества (среди элементов возможны повторения).

Число размещений из n элементов по k элементам может быть рассчитано по формуле:

Пусть k₁, k₂,…, k_m – целые неотрицательные числа, такие, что их сумма k₁+k₂+…+k_m=n. Число перестановок с повторениями в которых m различных элементов множества В и k_i элементов i-го вида () будем обозначать Р_n(k₁, k₂, …,k_m).

Теорема число перестановок с повторениями можно рассчитать по формуле:

Р_n(k₁, k₂, …,k_m)=

Сколько различных слов можно составить переставляя буквы слова «математика»

n=10, Р₁₀(3,2,2,1,1,1)= =151200

сочетанием из n элементов по k элементам с повторениями называется совокупность, содержащая k элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из n типов.

число сочетаний с повторениями:

Сколько было бы костей домино, если на костях могут присутствовать а) 11 значков, б)7 значков

Решить задачи:

1. 6 девушек и 4 юношей играют в городки. Сколько способов разбиться на 2 команды по 5 человек, при условии, что в команде не менее 1 девушки?

2. В почтовом отделении продают открытки 5 видов. Сколькими способами можно купить 10 открыток

3. Учащемуся необходимо сдать 3 экзамена на протяжении 7 дней. Сколько способов составить расписание? Решить задачу если известно, что последний экзамен будет сдаваться на 7 день.

4. В классе, в котором учатся Петя и Ваня, 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?

5. В группе студентов 15 девушек и 12 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Теория вероятностей.

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, (зеленым или белым.)

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.

Операции над событиями.

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Определение. суммой событий А_k называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий А_k.

Определение. произведением событий A_k называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.