Логарифмические частотные характеристики

Пусть задана частотная передаточная функция

W (j ω)= A (ω)⋅ e ^{j φ(ω)}

Прологарифмируем:

ln W (j ω)=ln A (ω)+ jφ (ω),

то есть логарифм W (j ω) – это комплексное выражение, где действительная часть– ln модуля, а мнимая часть – фаза.

Для практических целей удобно пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). Для построения ЛАЧХ находится величина

L (ω)= 20lg W (j ω)= 20lg A (ω).

L (ω) – измеряется в децибелах [дБ]. Бел – это такое усиление, когда мощность увеличивается в 10 раз (1Б=10дБ), 2 Бела – усиление в 100 раз. Крупные единицы: декабелы, гектобелы и т. д. Мелкие единицы: децибелы, сантибелы и т. д.

По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки, соответствующие lg ω, а около них пишется само значение частоты ω, [рад/с].

Единицами измерения lg ω являются октава и декада.

Декада – это интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 10ω. lg10ω −lgω =lg10=1, то есть отрезок между ω и 10ω не зависит от абсолютного значения ω.

Октава – интервал частот, заключенный между произвольным значением ω и 2ω.

lg2ω−lgω=lg2, тоже не зависит от абсолютного значения ω. Практически для нанесения логарифмического масштаба можно пользоваться выражением:

Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:

1. ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:

2. В области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ±40 дБ/дек и т.д.

3. Могут быть нанесены на график несоизмеримые значения амплитуды и частоты.

Рассмотрим примеры:

1) Пусть , тогда

Тогда

Если частота меняется в 10 раз (одна декада), то lg10=1 и мы имеем наклон характеристики в -20дБ/декада

Наклон -40дБ/дек

Наклон в этом случае равен +20дБ/дек

Перевод из дБ в разы (усиление равно сколько-то дБ, это будет в n раз):

Например, если дБ=20, то n=10¹=1; если дБ=10, то n=10^0,5=