Тема 3. Кратные интегралы и их приложение. Задание1. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями

Задание1. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями

РЕШЕНИЕ. Область интегрирования изображена на рис.2. Если выбрать внешнее интегрирование по , а внутреннее по , то двойной интеграл выразится одним повторным интенгралом: =

=

=

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

РЕШЕНИЕ. Строим линии и определяем фигуру (рис.3.), площадь которой необходимо вычислить. Она ограничена снизу параболой , а сверху прямой Поэтому с внешним интегрированием можно

взять один повторный интеграл, приняв

Тема 4 "Дифференциальные уравнения первого порядка "

Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

1.

Решение. Преобразуем данное уравнение:

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства.

;

- Общий интеграл.

- общее решение.

2.

Решение. Данное ДУ – уравнение с разделяющимися переменными. . Получаем:

/ . или

3. .

Решение. Разделив на х, получим однородное ДУ:

Применяем подстановку:

+

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

Рещение. Преобразуем уравнение, выделив производную

-линейное ДУ 1-го порядка. Решаем методом Бернулли, то есть применяем подстановку:

Получаем:

Объединяем 2-е и 3- е слагаемые, вынося за скобки :

Находим частное решение уравнения , такое, которое обращает скобку в ноль, т.е.

Подставляем найденное выражение в уравнение . Получаем:

Тогда - Общее решение ДУ. Находим частное решение по начальным условиям.

Получаем:

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.