Постановка задачі та характеристики випадкових сигналів

В попередніх розділах функціонування АСР оцінювалось при дії детермінованих сигналів (ступінчаста функція, дельта-функція, гармонійний сигнал) і відповідно оцінювались показники якості перехідних процесів. Для виявлення загальних властивостей АСР та оцінок закономірностей їх функціонування такий підхід виправданий.

Для реальних систем зовнішні сигнали (збурення та завдання) є випадковими, значення яких мають ймовірнісний характер. Наприклад, змінювання витрат матеріальних потоків, їх концентрацій та температур і інш. Не передбачуваним чином змінюються і властивості об’єкта, наприклад коефіцієнти тепло- та масообміну, а також перешкоди, які діють в каналах вимірювання.

Випадкова величина характеризується тим, що її значення не можна точно передбачити, воно визначається не контрольованими причинами (наприклад, кидання монети).

Випадковий сигнал (процес) – функція часу, значення якої в кожний момент є випадковою величиною. В теорії ймовірностей користуються також рівнозначними термінами – “стохастичний процес” і “ймовірнісний процес”. Випадкові сигнали (процеси) на відміну від детермінованих не можна описати однією функцією часу, тому використовується множина характеристик, які в комплексі оцінюють ймовірнісні властивості сигналу.

X(t)

T

m_x t

Dt t_N=NDt

t₁ t_i+1 t_i+k t

Рис. 7.1. Реалізація випадкового процесу

Функція x(t), яку отримують за результатами експериментальних спостережень, називають реалізацією випадкового сигналу (рис. 7.1). а Т – довжина реалізації.

В теорії автоматичного керування використовують ряд характеристик випадкових сигналів, наприклад, математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, кореляційні функції, спектральні щільності і інш. Приймається також ряд припущень та гіпотез. В першу чергу визначається стаціонарність випадкового сигналу. Стаціонарним випадковим сигналом називають такий, статистичні характеристики якого не змінюються з часом. Для нестаціонарного випадкового сигналу ці характеристики з часом змінюються.

Сутність статистичного підходу до аналізу і синтезу систем керування полягає в тому, що оцінки якості орієнтовані не на крайні, найбільш “важкі” умови роботи, які зустрічаються рідко, а на середні, найбільш ймовірні. При цьому необхідно врахувати, що при дії випадкових збурень в системі практично не наступає усталений режим, вона постійно переходить з одного режиму в інший. За такими ж законами змінюється регульована координата x(t) і сигнал похибки Dx(t) (в цьому випадку похибку позначають e(t)).

Математичний апарат аналізу стаціонарних випадкових процесів засновано на гіпотезі ергодичності. Це означає, що статистичні характеристики великої кількості довільно обраних реалізацій стаціонарного випадкового сигналу співпадають із статистичними характеристиками однієї реалізації достатньо великої довжини Т. Таким чином усереднення за множиною реалізацій стаціонарного випадкового сигналу можна замінити усередненням за часом однієї, достатньо довгої реалізації. Це значно полегшує експериментальні дослідження статистичних характеристик стаціонарних сигналів та спрощує розрахунок систем.

Середнє значення випадкового сигналу на кінцевому інтервалі часу оцінюється так:

(7.1)

При Т®¥ з урахуванням гіпотези ергодичності середнє значення випадкового сигналу буде дорівнювати математичному сподіванню:

(7.2)

В практичних розрахунках знак lim опускається, а під характеристиками випадкового процесу розуміють їх оцінки.

При експериментальних дослідженнях реалізація випадкового сигналу задана N дискретними значеннями з інтервалом Dt. (рис. 7.1). Тоді середнє значення наближено оцінюється так:

(7.3)

стаціонарний випадковий сигнал можна розглядати як суму:

, (7.4)

де m_x – математичне сподівання, - змінна складова.

Тоді:

(7.5)

Таку функцію називають центрованим випадковим процесом, його середнє значення дорівнюю нулю. Спектри сигналів Х(t) і співпадають, тому часто в задачах аналізу та синтезу АСР замість X(t) можна використовувати , крім випадків, коли розглядаються ці стани окремо.

Дисперсія стаціонарного випадкового сигналу дорівнює середньому значенню квадрата відхилень сигналу від математичного сподівання:

(7.6)

Дисперсія характеризує розкидання миттєвих значень сигналу навколо . Чим більші пульсації випадкового сигналу, тим більше дисперсія, яка має розмірність величини в квадраті. Дисперсію можна розглядати також як середнє значення потужності змінної складової сигналу. Для оцінки міри розкидання випадкового сигналу можна використовувати середньоквадратичне відхилення

(7.7)

При розрахунку автоматичних систем важливим є така властивість: дисперсія суми або різниці незалежних випадкових сигналів дорівнює сумі дисперсій цих сигналів

(7.8)

Важливою ймовірнісною характеристикою випадкового процесу є функція розподілу. Якщо прийняти, що для випадкової величини ймовірність її значення має оцінку , то функція розподілу буде:

(7.9)

Для неперервного випадкового процесу ймовірність того, що його значення потрапить у деякий проміжок, визначається різницею функцій розподілу:

(7.10)

Похідна від функції розподілу

(7.11)

називається цільністю розподілу, або диференціальною функцією розподілу. В практичних задачах приймаються нормальний, або гаусівський закон розподілу (рис. 7.2).

р(х)

x

х_m

Рис.7.2. Щільність розподілу випадкової величини Х.

Крива щільності розподілу ймовірностей для випадкової величини симетрична відносно значення Х_m (центру розподілу).

Математичне сподівання та дисперсія є важливими числовими оцінками випадкового сигналу, але вони не характеризують його повністю, наприклад за цими оцінками не можна отримати інформацію про швидкість змінювання сигналів з часом.

X₁

m_X1

a) t

X₂

m_X2

t

б)

Рис. 7.3. Реалізації випадкових процесів

Так два випадкових процеси (рис.7.3) можуть мати однакові математичні сподівання і дисперсії, але вони відрізняються в часі: (рис.7.3,а) змінюється повільніше, ніж (рис.7.3,б). Крім того, необхідно оцінити зв’язок між значеннями випадкового сигналу, які оцінюються різними значеннями t (рис.7.1). Для цього існують кореляційні функції та спектральні щільності.

Кореляційна функція випадкового процесу - математичне сподівання добутку миттєвих значень центрованого сигналу , розділених проміжком часу t:

(7.12)

Значення t змінюється від нуля до максимального t_макс. Кожному фіксованому значенню t відповідає числове значення функції .

Для конкретного випадкового сигналу кореляційна функція (її називають також автокореляційною) характеризує ступінь тісноти зв’язку (кореляції) між попередніми і наступними значеннями сигналу. При збільшенні t зв’язок між значеннями і зменшується, тому також зменшується. При значних t®¥ значення і практично незалежні. До основних властивостей кореляційної функції відносяться такі:

- при t®¥ ;

- змінюється тим швидше, чим швидше змінюється випадковий сигнал з часом;

- - парна функція аргумента t

; (7.13)

- значення для центрованого випадкового сигнала дорівнює дисперсії

(7.14)

За експериментальними даними кореляційну функцію у випадку неперервного запису випадкового сигналу можна отримати за допомогою спеціального приладу – корелятора. Якщо ж реалізація є сукупністю дискретних значень сигналу, отриманих через одинакові проміжки часу Dt, то інтеграл (7.12) можна наближено замінити сумою

(7.15)

Для отримання достовірної інформації про властивості випадкового сигналу довжину реалізації Т та інтервал дискретності Dt отримають з умов:

; ,

де: Т_н.у. , Т_в.ч. - відповідно періоди самої низькочастотної та самої високочастотної складових сигналу.

Спектральна щільність стаціонарного випадкового сигналу характеризує розподіл енергії серед його гармонік. Це випливає з того, що на кінцевому інтервалі часу Т для функції існує пряме перетворення Фур’є:

(7.17)

Зображення Фур’є неперіодичного сигналу характеризує розподіл відносних амплітуд сигналу вздовж осі частот (спектральна щільність амплітуд), а функція характеризує розподіл енергії сигналу серед його гармонік. Якщо поділити функцію на довжину випадкового сигналу, то це буде визначати розподіл потужності кінцевого сигналу серед його гармонік. Якщо , то функція буде мати межу:

(7.18)

Це і є спектральна щільність потужності випадкового сигналу (в подальшому спектральна щільність). Можна стверджувати також, що спектральна щільність випадкового сигналу характеризує розподіл квадратів відносних амплітуд гармонік сигналу вздовж осі w.

Головними властивостями є:

- - парна функція частоти;

- при функція (крім сигналу, який називають “білий шум”);

- чим швидше змінюється сигнал з часом, тим ширший графік функції ;

- при наявності на графіку функції окремих піків це свідчить про наявність періодичних складових у випадковому процесі .

Методи аналізу і синтезу систем при випадкових сигналах об’єднуються в окремий розділ загальної теорії управління – статистичну динаміку, яка розглядає три взаємозв’язані проблеми:

- визначення статистичних характеристик випадкових сигналів при заданій структурі системи та параметрах об’єкта і регулятора;

- визначення оптимальних параметрів регулятора (в загальному вигляді – пристрою керування);

- визначення оптимальної структури системи або пристою керування при відомих характеристиках зовнішніх сигналів.

Між функціональними характеристиками випадкового сигналу існують однозначні взаємозв’язки, що дає можливість переходити від одних характеристик до інших та використовувати їх в найбільш зручному виді. Зв’язок між спектральною щільністю та дисперсією випадкового сигналу можна отримати з рівняння Парсеваля:

, (7.19)

де: - перетворення Фур’є випадкового сигналу . Рівняння (7.19) для кінцевої реалізації з урахуванням ділення на буде мати вид:

(7.20)

При ліва частина рівняння (7.20) прямує до дисперсії сигналу (7.6), а підінтегральний вираз в правій частині – до спектральної щільності . З урахуванням цього отримують одну з головних залежностей статистичної динаміки:

(7.21)

Ліва частина виразу (7.21) визначає повну дисперсію сигналу, тому кожну елементарну складову під знаком інтегралу можна розглядати як дисперсію або квадрат амплітуди гармоніки з частотою . Практичне значення залежності (7.21) полягає в тому, що по відомій спектральній щільності сигналу можна визначити дисперсію , яка в багатьох задачах характеризує кількісну характеристику якості системи. Спектральну щільність можна знайти за експериментальними даними.

Перетворення Фур’є є основою для визначення зв’язку між кореляційною функцією і спектральною щільністю . Було визначено, що спектральна щільність є зображенням Фур’є кореляційної функції:

(7.22)

Після перетворень вираз (7.22) приводять до виду:

(7.23)

З виразів (7.22) і (7.23) отримують зручні для практичних розрахунків формули:

(7.24)

(7.25)

При вираз (7.25) перетворюється у формулу для обчислення дисперсії.

Взаємний зв’язок між і відображено в табл. 7.1.

З графіків видно, що функції і відображаються кривими різної форми, а так званий ідеальний білий шум характеризується рівномірним розподіленням амплітуди гармонік за частотами (по аналогії з білим світлом, в якому інтенсивність всіх компонент одинакова). В той же час необхідно врахувати, що поняття “білий шум” є математичною абстракцією, фізично таких сигналів не існує, тому що нескінченно широкому спектру відповідає нескінченно велика дисперсія (формула (7.21)), тобто нескінченно велика потужність, що неможливо. Реальні сигнали можна розглядати наближено у вигляді білого шуму тоді, коли спектр сигналу значно ширший смуги пропускання сигналу.

Таблиця 7.1.

Зв’язок між кореляційними функціями і спектральними щільностями

№ п/п	Випадковий сигнал	Кореляційна функція	Спектральна функція
1.	Білий шум
2.	Сигнал з постійною складовою
3.	Сигнал з періодичною складовою
4.	Сигнал без періодичної та постійної складової

В практичних задачах виникає також необхідність оцінити зв’язок двох випадкових сигналів. Для цього використовуються:

- взаємна кореляційна функція стаціонарних випадкових процесів і :

(7.26)

Ця функція характеризує степінь зв’язку (кореляції) між миттєвими значеннями сигналів і , між якими є проміжок часу . Якщо сигнали статистично не зв’язані (не корельовані) між собою, то при всіх значеннях функція . При використанні функції необхідно врахувати, що:

(7.27)

Кореляційна функція суми (різниці) двох корельованих між собою сигналів визначаються виразом:

(7.28)

- взаємна спектральна щільність випадкових сигналів і визначається як перетворення Фур’є взаємної кореляційної функції:

(7.29)

крім того, з урахуванням рівності (7.27)

(7.30)

спектральна щільність суми (різниці) випадкових сигналів і буде:

(7.31)

Якщо сигнали і не корельовано між собою, то вирази (7.28) і (7.31) спрощуються:

(7.32)

Аналіз виразів (7.8) і (7.32) показує, що статистичні характеристики , і сукупності кількох не корельованих між собою випадкових сигналів завжди дорівнюють сумі відповідних характеристик цих сигналів, незалежно від того, з яким знаком визначається ця сукупність.

Реальні випадкові процеси, які діють на об’єкти керування, мають різні властивості та характеристики. В задачах аналізу та синтезу АСР зручно використовувати типові випадкові сигнали, які мають відомі характеристики. Така ідеалізація часто використовується в теорії автоматичного керування: раніше розглядались типові детерміновані сигнали, типові елементарні ланки. Кореляційні функції і спектральні щільності типових сигналів – достатньо прості функції аргументів і , а параметри цих функцій можна визначити за експериментальними даними. До типових випадкових сигналів відносяться:

- білий шум з обмеженою широтою спектра. Спектральна щільність цього сигналу (рис. 7.4, а) описується функцією:

а) б)

в) г)

д) е)

Рис.7.4. Спектральні щільності і кореляційні функції типових випадкових сигналів

(7.33)

де - інтенсивність білого шуму, - смуга частот.

Дисперсія цього сигналу

(7.34)

кореляційна функція (рис.7.4,б)

(7.35)

або:

; (7.36)

-сигнал з експоненційною кореляційною функцією (рис.7.4,г):

(7.37)

(7.38)

де - параметр функції. Чим більше , тим швидше зменшується кореляційна функція і ширший графік спектральної щільності. При цей сигнал наближається до ідеального білого шуму. Орієнтовно параметр можна визначити безпосередньо за реалізацією сигнала – середньому числу перетинів центрованим сигналом осі часу: ;

- сигнал з експоненційно-косинусною кореляційною функцією (рис.7.4,е):

(7.39)

Цей сигнал має “приховану” періодичну складову, параметр відповідає середньому значенню цієї складової, а параметр характеризує відносну інтенсивність решти випадкових складових, які накладені на періодичну складову. Якщо показник , то відносний рівень цих складових незначний, а змішаний сигнал наближається до гармонійного. Якщо показник , то рівень випадкових складових сумарний з “амплітудою” періодичної складової. При кореляційна функція (7.39) практично співпадає (з точністю 5%) з експонентою (7.37). Спектральна щільність, яка відповідає кореляційній функції (7.39), має вигляд (рис.7.4,д):

(7.40)

При частоті має чітко виражений пік.

7.2. Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною ланкою.

Якщо на вході лінійної стійкої ланки або системи діє стаціонарний випадковий сигнал, то на виході теж буде стаціонарний випадковий сигнал, але з іншими статистичними характеристиками – математичним сподіванням, дисперсією, кореляційною функцією та спектральною щільністю.

Вхідний та вихідний сигнали запишемо у вигляді

, (7.41)

(7.42)

З урахуванням принципу суперпозиції для лінійних систем, можна прийняти, що кожна складова визначається окремо: - за результатом перетворення , - за результатом перетворення . Тоді для оцінки можна використати рівняння статики:

(7.43)

Для оцінки змінної складової можна скористатись інтегралом згортки для моменту часу :

(7.44)

де: - вагова функція.

В подальшому будуть розглядатись лише центровані сигнали, то значок “ ” опускається.

Фур’є – перетворення вагової функції буде

(7.45)

Взаємна кореляційна функція сигналів з урахуванням (7.44) має вигляд

(7.46)

Інтегральне співвідношення (7.46) відоме як рівняння Вінера-Хопфа і співпадає за формою з інтегралом згортки (7.44), тому взаємну кореляційну функцію можна розглядати як реакцію системи на сигнал, який має кореляційну функцію .

Якщо на вхід ланки або системи поступає випадковий сигнал у вигляді білого шуму, то вираз для набуває виду:

, (7.47)

а дисперсія вихідного сигналу:

(7.48)

визначається інтегралом від квадрату вагової функції. Якщо сигнал відрізняється від білого шуму, то в рівняння (7.48) потрібно підставити вагову функцію еквівалентної ланки, яка включає формуючий фільтр, тобто елемент, що задає (формує) потрібні характеристики випадкового процесу.

При розв’язанні задач аналізу і синтезу зручно користуватись співвідношеннями між спектральними характеристиками вхідного і вихідного сигналів. Взаємна спектральна щільність сигналів і зв’язані однозначно, що випливає з виразу (7.29):

(7.49)

Підставляючи замість інтеграл Вінера-Хопфа (7.46), після перетворень отримують зручну залежність:

(7.50)

Це рівняння можна розв’язати відносно АФХ і отримати характеристики об’єкта за експериментальними реалізаціями сигналів і . Для цього спочатку обчислюють кореляційні функції і , а потім переходять до спектральних щільностей і , які підставляють у (7.50).

Спектральна щільність вихідного сигнала у відповідності з (7.22) буде:

(7.51)

Після перетворень отримують одну з найбільш важливих залежностей:

, (7.52)

яка має чіткий фізичний зміст: спектральна щільність вихідного сигналу дорівнює спектральній щільності вхідного, помноженому на квадрат амплітудно-частотної характеристики ланки (системи). Вираз (7.52) можна отримати і з таких фізичних уявлень: АЧХ при кожному значенні аргумента визначає відношення амплітуд гармонік вхідного і вихідного сигналів, а спектральні щільності і при фіксованих значеннях дорівнюють квадратам відносних амплітуд гармонік.

З урахуваннням (7.21) можна записати ще один важливий вираз:

(7.53)

Співвідношення (7.52) є основою для введення поняття формуючого фільтра – динамічної ланки, яка перетворює вхідний сигнал у вигляді білого шуму в вихідний із заданими статистичними характеристиками. Приймаючи інтенсивність білого шуму при всіх значеннях частоти , спектральна щільність сигналу на виході формуючого фільтра буде:

, (7.54)

тобто для отримання на виході фільтра випадкового сигналу з бажаною функцією необхідно, щоб квадрат АЧХ фільтра дорівнював спектральній щільності сигналу, який формується з білого шуму. Послідовне з’єднання формуючого фільтра та досліджуваної ланки – еквівалентна ланка:

(7.55)

Метод формуючого фільтра полягає в тому, що при статистичному аналізі систем керування перед досліджуваною ланкою або системою включають формуючий фільтр з амплітудно-фазовою характеристикою, яка відповідає спектральним властивостям реального вхідного сигналу , а характеристики вихідного сигналу визначають при подачі на вхід еквівалентної ланки чи системи білого шуму. Такий перехід від дослідження реальної ланки до дослідження еквівалентної спрощує задачу аналізу. Наприклад, для визначення дисперсії вихідного сигналу досліджуваної ланки достатньо отримати вагову функцію еквівалентної ланки, тоді з урахуванням (7.48):

, (7.56)

або на основі (7.53):

(7.57)

7.3. Обчислення та мінімізація сигналу

похибки замкненої системи.

а)

б)

Рис.7.5. Алгоритмічні схеми замкненої системи: а) початкова; б) розрахункова.

Для алгоритмічної структури замкненої системи (рис. 7.5,а) приймається, що на систему діють випадкові сигнали перешкоди і збурення з відомими спектральними щільностями і . Сигнал завдання також є випадковим із спектральною щільністю . Приймається, що всі три сигнали центровані, тому сигнал похибки також центрований.

Якщо зовнішні сигнали не корельовані між собою, то можна застосувати розрахункову схему (рис. 7.5,б) і тоді:

, (7.58)

де: обумовлена неточним відтворенням сигналу завдання , а складові і - неповним подавленням перешкоди і збурення .

Відповідно дисперсія сигналу похибки має три складові:

(7.59)

Кожну з цих дисперсій можна визначити незалежно одну від іншої:

(7.60)

(7.61)

(7.62)

Якщо зовнішні сигнали корельовані між собою, то складові похибки (7.58) також будуть корельованими, а повну дисперсію можна знайти інтегруванням загальної спектральної щільності з урахуванням (7.31). При урахуванні конкретних значень і вирази (7.60) – (7.62) інтегрувати складно, тому використовуються наближені обчислення квадратичних інтегрованих оцінок. Для систем із запізнюванням застосовують заміну дробно-раціональними функціями.

Рис. 7.6. Залежність дисперсії сигналу

похибки від коефіцієнта передачі

розімкненої системи

Як видно з рис. 7.6, існує оптимальне значення коефіцієнта передачі системи , при якому дисперсія похибки мінімальна. При цьому залежність складових і від різна.

Синтез АСР при дії випадкових сигналів зводиться до виконання загальної вимоги: максимально точно відтворювати та компенсувати чи зменшувати вплив збурення. Виконання умов точності можна звести до вимоги мінімізації дисперсії

або (7.63)

В задачі синтезу АСР при випадкових сигналах передбачається, що система повинна відтворювати не сам сигнал завдання , а деякий ідеальний сигнал :

(7.64)

де: - заданий оператор (передаточна функція ідеального перетворення вхідного сигналу).

а)